大学文科数学1-2 积分ppt.ppt

文 科 数 学,2 积 分,定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。古希腊阿基米德用“穷竭法”、我国的刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些都是定积分的雏形。直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分和微分的之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决有关实际问题的有利工具，并使各自独立的微分和积分联系在一起，构成了完整的理论体系-微积分学。,文 科 数 学,1.曲边梯形的面积,设曲边梯形是由连续曲线,及 x 轴、两直线,所围成，,求其面积 A。,矩形面积 A,梯形面积 A,一、积分的概念,文 科 数 学,1)大化小,在区间 a,b 中任意插入 n 1 个分点,用直线,将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形；,2)常代变,在第i 个窄曲边梯形上任取,作以,为底，,为高的小矩形，,并以此小,矩形面积近似代替相应,窄曲边梯形面积,得,解决步骤：,文 科 数 学,4)取极限,令,则曲边梯形面积,3)近似和,文 科 数 学,设某物体作直线运动，,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s。,解决步骤,1)大化小,将它分成 n 个小段,在每个小,2)常代变,已知速度,段上物体经过的路程为,2.变速直线运动的路程,文 科 数 学,4)取极限,上述两个问题的共性：,解决问题的方法步骤相同：,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量的结构式相同：,特殊乘积和式的极限,所要计算的量（面积、路程）决定于一个函数,以及自变量的一个变化区间；,3)近似和,文 科 数 学,任一种分法,任取,总趋于确定的,则称此极限 I 为函数,在区间,上的,，即,此时称 f(x)在a,b上可积。,记作,二、积分的定义,只要,时，,极限 I,定积分，,定积分概念教学演示实验,文 科 数 学,定积分仅与被积函数及积分区间有关，,而与积分,变量用什么字母表示无关，,即,文 科 数 学,利用定义计算定积分,解：将 0,1 n 等分,分点为,取,，则,文 科 数 学,注：利用,得,两端分别相加，得,即,文 科 数 学,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,定积分的几何意义,文 科 数 学,(k 为常数),三、积分的性质,5.若在a,b上,则,文 科 数 学,证：当,时，,因,在,上可积，,所以在分割区间时，可以永远取 c 为分点，,于是,文 科 数 学,当 a,b,c 的相对位置任意时,例如,则有,定积分对于积分区间具有可加性,文 科 数 学,补：若在 a,b 上,则,证：,5.若在 a,b 上,则,文 科 数 学,解：,计算定积分,比较,的大小。,解：在,上，,文 科 数 学,作业 P17,积分的定义：1，2,积分的性质：3，4，5,文 科 数 学,阿基米德(前287-前212),古希腊哲学家、数学家、物理学家。出生于西西里岛的叙拉古。阿基米德到过亚历山大里亚，据说他住在亚历山大里亚时期发明了阿基米德式螺旋抽水机，今天在埃及仍旧使用着。后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有“力学之父”的美称。阿基米德流传于世的数学著作有10余种，多为希腊文手稿。第二次布匿战争时期，罗马大军围攻叙拉古，最后阿基米德不幸死在罗马士兵之手。,“给我一个支点，我能撬动整个地球。”,文 科 数 学,牛顿(1643 1727),艾萨克牛顿（Isaac Newton）是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，其研究领域包括了物理学、数学、天文学、神学、自然哲学和炼金术。牛顿的主要贡献有发明了微积分，发现了万有引力定律和经典力学，设计并实际制造了第一架反射式望远镜等等，被誉为人类历史上最伟大，最有影响力的科学家。为了纪念牛顿在经典力学方面的杰出成就，“牛顿”后来成为衡量力的大小的物理单位。,“如果说我比别人（笛卡尔）看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”,文 科 数 学,莱布尼茨(1646-1716),戈特弗里德威廉凡莱布尼茨（Gottfried Wilhelm von Leibniz）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等，“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口，他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。,