大学微积分课程之不定积分.ppt

1,第四章 不 定 积 分,求原来那个函数的问题.,已知某曲线的切线斜率为2x,本章研究微分运算的逆运算,已会求已知函数的导数和微分的运算.,解决相反的问题,就是已知函数的导数或微分,例如,某质点作直线运动,已知运动速度函数,求路程函数.,常要,求此曲线的方程.,1.,2.,不定积分.,indefinite integral,2,第一节 不定积分的概念与性质,原函数与不定积分的概念,基本积分公式,不定积分的性质,小结 思考题 作业,indefinite integral,第四章 不定积分,3,一、原函数与不定积分的概念,解,例,设曲线方程上任一点的切线斜率都等于切点,处横坐标的两倍,求曲线的方程.,设曲线方程为,满足此条件的函数有无穷多个,如,等都是.,一般,所求曲线方程为,C为任意常数.,4,定义1,例,1.原函数,如果在区间I上,则称,或,原函数.,一个,或由,知,是,原函数.,也是,的原函数,其中,为任意常数.,5,一般,的原函数,(C为任意常数).,因,一个函数如果有原函数,就有无穷多个.,在区间I上的一个,在区间I上的任一原函数都,其中C为某一常数.,则,定理,定理表明:,的一整族函数,形如,是f(x)的全部原函数.,原函数,结 论,的形式,可表为,6,故,证,的另一个原函数,则,又,只要找到f(x)的一个原函数,就知道,它的全部原函数.,要证,常数,因为,导数恒为零的函数必为常数,某个常数,7,积分变量,积分常数,被积函数,定义2,被积表达式,2.不定积分,不定积分.,(1)定义,全部原函数的一般表达式,称为函数f(x)的,总和(summa),记为,积分号,8,1.被积函数是原函数的导数,被积表达式是,原函数的微分.,2.不定积分表示那些导数等于被积函数的所,或说其微分等于被积表达式的所,有函数.,有函数.,因此绝不能漏写积分常数C.,3.求已知函数的原函数或不定积分的运算称,为积分运算,它是微分运算的逆运算.,9,例 求,解,解,例,?,10,(2)不定积分的几何意义,积分曲线,称为,的积分曲线.,的图形,向平行于y 轴的方向任意,上下移动,得出的无穷多条曲线,称为,的图形是,平面的一条曲线,是将曲线,族.,11,由于不论常数C 取何值,同一x处其导数等于f(x),各切线相互平行.,有积分曲线族,即,12,解,故所求曲线方程为,(3)积分常数的确定,求通过点 且其切线斜率为2x曲线.,例,的曲线族为,有,13,解,例,所以,14,（原函数存在定理）,连续函数一定有原函数.,则它必有原函数.,(4)原函数存在问题,定理2,哪些函数有原函数,?,又如何求其原函数,?,原函数是否必为连续函数,?,15,由不定积分的定义,结论,微分运算与求不定积分的运算是,如,(1),或,或,互逆的.,二、不定积分的性质,16,证,等式成立.,（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）,(2),(2)，(3)称为线性性质.,思考:k=0,等式是否成立?,(3),17,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式,结论,要判断一个不定积分公式是否正确,只要将右端的函数求导,看是否等于被积函数.,求导公式,?,积分公式.,?,三、基本积分公式,积分运算和微分运算是互逆的，,18,基本积分公式,(k是常数),说明：,简写为,19,20,21,例 求积分,解,出一些简单函数的不定积分,称为,利用不定积分的性质和基本积分公式,可求,由公式,直接积分法.,22,例 求积分,解,23,例 求积分,解,24,例 求积分,解,称为分项积分法.,分项积分法,利用线性性质计算积分,上两例是将被积函数作恒等变形,25,例 求积分,解,以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.,26,解,例,27,解,所求曲线方程为,已知一曲线 y=f(x)在点(x,f(x)处的切线,例,斜率为,且此曲线与y轴的交点为,(0,5),求此曲线的方程.,28,练习,29,练习,30,熟记基本积分公式,不定积分的性质,原函数的概念,不定积分的概念,求微分与求积分的互逆关系,四、小结,不定积分的几何意义,31,应先将绝对值符号化掉,即将|x|化作分段函数:,思考题,解,32,因此在x=0处必连续,由于原函数可导,所以原函数必定连续,于是有,33,作业,习题4-1(190页),1.(4)(10)(14)(18)(20)(21)(24)(26)3.4.,