多项式的定义和运算.ppt

代数是搞清楚世界上数量关系的工具。怀特黑德当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。-柯普宁(前苏联哲学家),第二章 多项式,2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性2.3 多项式的最大公因式2.4 多项式的分解 2.5 重因式2.6 多项式函数 多项式的根2.7 复数和实数域上多项式2.8 有理数域上多项式2.9 多元多项式2.10 对称多项式,2.1 一元多项式的定义和运算,一、教学内容2.1.1 多项式的定义2.1.2 多项式相等2.1.3 多项式的次数2.1.4 多项式的运算二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质。三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。,2.1.1 多项式的定义,定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式,叫做零次项或常数项,叫做一次项,例如：,都是x的多项式。,规定：,若是某个i次项的系数是1，那么这个1可以省略不写；,问：下列各式是不是x的多项式？,2.1.2 多项式相等,定义2 若是数环R上两个一元多项式 f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x)和g(x)就说是相等。记为 f(x)=g(x)。,例如：,在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项。,规定：,一个数环R上系数不全为零的多项式可以唯一地写成,于是，我们可以对多项式引入次数的概念。,2.1.3 多项式的次数,系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。,我们在初等代数中曾经学习过多项式的加法、减法及乘法。两个多项式相加（或相减）就是把它们的同次项的系数相加（或相减）。两个多项式相乘就是把第一个多项式的各个单项与第二个多项式的各个单项分别相乘，然后合并同次项。,2.1.4 多项式的运算,一、多项式的加法,给定数环R上两个多项式,并且设m n,f(x)与g(x)的和指的是,这里当m n 时，,于是，可定义多项式的减法为,求多项式的和的运算叫做多项式的加法运算。,二、多项式的乘法,给定数环R上两个多项式,f(x)与g(x)的积指的是,这里：,其中：,（1）加法交换律:,（2）加法结合律:,（3）乘法交换律:,（4）乘法结合律:,求多项式的积的运算叫做多项式的乘法运算。,三、多项式运算法则,四、多项式次数的运算性质,（ii）,证明:,若是,那么由上面定理的证明得,那么由多项式乘法定义得,推论2,即,解 整理得,例3 求k,t使,解 将左端两多项式相乘，原式可化为,由两个多项式相等的定义可得,解得,2.1.5 多项式环,我们用Rx 表示数环R上一个文字x的多项式的全体。,并且把在其中如上定义了加法和乘法运算的Rx叫作数环R上的一元多项式环。,练习,作业：P30:1、2,