多元函数取得极值的条件.ppt

多元函数取得极值的条件,无约束问题,取得极值的条件,必要条件,若函数f(x,y)在点P(x0,y0)存在两个偏导数，且 P(x0,y0)是函数f(x,y)的极值点，则,驻点,充分条件,若函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)的某邻域内连续且存在一,阶及二阶偏导数，又,令,则,时具有极值，且当A0,时有极小值。,0时没有极值,不能确定,n元函数取得极值的条件？,梯度,具有偏导数，,Hesse矩阵,必要条件,若n元函数f(x)在存在偏导数，且x*是函数f(x)的极值点，则,一阶条件,二阶条件,二阶充分条件,证明:,所以,约束问题,取得极值的条件,对于多元函数的条件极值，在高等数学中给出Lagrange乘子法。Lagrange乘子法只给出可能极值点，没有给出判别这些点究竟是否是极值点的方法，也没有给出判别是极大值点还是极小值点的方法。,问题：,对于一般的有约束极值问题，取得极值的条件是什么？,一般的约束极值问题：,几个概念：,可行域：,可行方向：,(1),指标集,起作用集,起作用约束在x的领域限制了可行点的范围。当点沿某些方向稍微离开x时，仍能满足约束条件；而沿另一些方向离开x时，不论步长多么小，都将违背这些约束。,对于非起作用约束（ci(x)0），x是否是局部最优解与这些非起作用约束无关。,序列可行方向：,序列可行方向的性质,设ci(x)在x处可微，则,证明,性质1,同样可证性质2,设fi(x)在x*处可微，且取得局部极小值，则,必要条件,说明,Lagrane函数,KT条件等价于,i称为Lagrange乘子,Lagrange乘子法,x*称为KT点,一阶条件,证明,首先证明集合非空,由于该方程组的系数矩阵的行向量组线性无关，所以该方程组有解,考察方程组,是SFD(x*,X)的子集,而SFD(x*,X)是闭集，所以S*的闭包cl(S*)SFD(x*,X)，即,下面证明,下面证明dcl(S*),于是,所以,定理得证,一阶充分条件,证明,二阶条件,线性化零约束方向集,设x*是KT点，是相应的Lagrange乘子，dRn。如果,则称d是在x*处的线性化零约束方向。在x*处的所有线性化零约束方向的集合记为G(x*,),序列零约束方向集,设x*是KT点，是相应的Lagrange乘子。如果存在序列dkRn和k0(k=1,2,)使得,则称d是在x*处的序列零约束方向。在x*处的所有序列零约束方向的集合记为S(x*,)。可证S(x*,)G(x*,),二阶必要条件,设x*是问题（1）的局部极小点，是相应的Lagrange乘子。则必有,证明,则存在序列dkRn和k0(k=1,2,)使得,因此,由于x*是问题（1）的局部极小点，对充分大的k有,充分条件,设x*是KT点，是相应的Lagrange乘子。如果,则x*是问题（1）的局部严格极小点。,证明,定理成立,推论,设x*是KT点，是相应的Lagrange乘子。如果,解 作辅助函数,得唯一解 KT点x*=(0,0,1)和Lagrange乘子=2,注,