向量空间的正交化.ppt

第七章 向量空间的正交性,一 向量的内积,定义1,对n 维向量空间,中的向量,为,到实数集R的函数，,当,注：,上述定义中给出的内积满足：,（1）交换性：,（2）线性性：,（3）非负性：,当且仅当,时，等号成立,的长度，,定义2,(1)称非负实数,记为,为向量,称,为与,同向的单位向量，,称长度为1的向量为单位向量，,则,对系数矩阵A作初等行变换,所以,是单位向量，则称该向量组为标准正交组。,故一个向量组是标准正交组的充要条件是,二 向量的正交性,，若它们两两正交，,称这个向量组为正交向量组。,又若每一个向量,定理1,设一个向量组,线性无关。,，所以,又因为,因为,注：,例如,中的自然基,也是标准正交基。,是,中的一组标准正交基，而,设,三、Schmidt正交化方法,向量组。,空间中的线性无关,下述方法称为Schmidt正交化方法，它是把线性无关向量组，转变为正交向量组的方法。,（当r=n时，就是Rn空间里的一组基）,但是，这组向量组不定是（标准）正交向量组；,（当r=n时，这组向量组不定是（标准）正交基）,然后单位化：,即为标准正交基。,当,时，,Schmidt 正交化方法就可以将一组基,化为正交基,则,书例2,（3）,四、正交矩阵,A是正交矩阵。,若A为正交阵，则,（1）,（2）,（4）若A，B为正交阵，则AB也为正交阵,定义,设A是n阶的实矩阵，若,，则称,正交矩阵的性质：,也为正交阵,量都是单位向量且两两正交。,，则,即,得证,定理2,A为正交矩阵的充要条件是A的行（列）向,证明：令,书例3,