分析力学基础-拉格朗日方程.ppt

2、动力学普遍方程存在着致命的弊病：在求解多自由度会遇 到极大困难，几乎难以下手。,1、全部动力学问题归结为求解一个动力学普遍方程。是最高 度的概括,原因：方程中3n个笛卡尔坐标不是独立的。对于完整系统只 有N=3n-s个是独立的。,拉格郎日开创的分析力学，就是为克服动力学普遍方程的弱点，解决多自由度、非自由系统的动力学问题而发展完善的。,1、分离独立坐标法。,解决动力学普遍方程困难主要有三条途径：,2：拉格郎日乘子法解算动力学普遍方程。这种方法在实际应用中，并不可取，但是起步艰难的第一步，同时是解微分方程的一种重要方法,3：拉格郎日第二类方程：采用广义坐标代替笛卡尔坐标，彻 底改造动力学普遍方程，得到一组二阶常微分方程。,4 第一类拉格朗日方程,对约束方程两边变分,我们引入符号,实际这也是虚位移应当满足的约束,引入拉格朗日方程 将上式两端乘 并对k求和,将上式与动力学普遍方程两式相减，可得,这就是拉格朗日方程乘子的动力学方程，即第一类拉格朗日方程。共有 3n+s 个未知量，可与 s 个约束方程可联立求解。,独立坐标有3n-s个，对于不独立坐标，我们可选取适当的 使上式等于零，从而有,第一类拉格朗日方程优点：1.既可用于完整系统，也可用于非完整系统。具有更为普遍的应用性。2.既可求运动，也可求约束力。,第一类拉格朗日方程弱点：1.没有采用广义坐标，约束越多，自由度越少，反而方程数越多。2.不能直接用于解决刚体系统的动力学问题。3.对于完整系统不如第二类拉格朗日方程方便，对于非完整系统又远不如罗兹和阿沛尔方程。,步骤：列出笛卡尔坐标下的约束方程。,3.分析各质点上的主动力。,2.根据约束方程确定。,4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程。,5.与约束方程联立求解，确定积分常数,已知：M1的质量为m1，M2的质量为m2，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。,1.约束方程,3.各质点上的主动力,2.,4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程,5.与约束方程联立求解可得:,由约束方程可得,已知：图示三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑动，A和B的质量各为m2与m1，三棱柱B的斜面与水平面成角。如开始时物系静止，忽略摩擦。求运动时三棱柱B的加速度。,1.约束方程,3.各质点上的主动力,2.,由 y1=0,并由2式可得,4.根据第一类拉格朗日方程，列出运动微分方程,由约束方程可得,将(3)和(4)式代入上式可得,将(3)和(4)式代入上式可得,再将(1)式代入上式消去2可得,谢谢大家,由质心运动定理可得,