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波导模式理论小结,（阶跃光纤部分）2006年3月,一、阶跃光纤的矢量模解,三维矢量波动方程分解成横向分量和纵向分量 圆柱面波导波动方程纵向分量的微分方程,用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和 两个解。其中：,m=0、1、2、-,第一类贝塞尔函数,第二类贝塞尔函数,纤芯内场量在半径方向的分布：第一类贝塞尔函数,包层内场量在半径方向的分布：变态贝塞尔函数,纵向分量Ez 和 Hz的特点：,在纤芯内沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是沿圆周方向出现最大值的对数。m=0 对应子午光线。沿z轴呈行波状态，波的相位常数为。在包层内沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保证电磁波能量集中在纤芯和边界面附近。在圆周方向场量分布和纤芯内相同，以保证满足界面边界条件。具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。,A1，B1是待定常数,A2，B2是待定常数,注意两个贝塞尔函数的差异。,（3.8）,（3.9）,纵向分量（3.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：,引入两个参数：表示纤芯内场沿半径a方向分布规律 纤芯内横向传播常数 表示包层内场沿半径a方向衰减程度 包层内横向衰减系数 表示轴向相位常数，与波矢量k0和横向传播常数kc之间有确定关系：,二、导波模的特征方程,利用边界条件（边界场的切向分量连续）确定特征方程：其中弱导波光纤（1）特征方程：,三、利用特征方程的讨论,导波模的分类TM模和TE模对弱导光纤有相同的特征方程：TE波或 TM波在光纤中存在条件是m=0，意味着场量不是的函数，在光纤中呈轴对称分布，只能以子午光线形式传播。EH模和HE模混合模则在弱导光纤条件下，EH、HE模有与TM、TE模相同的特征方程。,导波模的截止参数和单模传输条件,TE模和TM模的截止频率在W 0 条件下，由特征方程解得其截止状态的特征方程为：即归一化截止频率是零阶贝塞尔函数的零点（根）：光纤中任意一个传播模式必须满足波导参数大于截止频率：满足最低归一化频率模（TE01和TM01）的截止波长:,2.405，5.520，8.654，-零阶贝塞尔函数的根,阶跃光纤低阶模的场分布,EH混合模的截止频率在W 0 条件下，由特征方程解得其截止状态特征方程为 Jm（Uc）=0 即归一化截至频率UC 是m阶贝塞尔函数的零点：最小归一化频率为：最小截止波长为：,HE 混合模的截止频率在W 0 条件下，由特征方程其截止状态特征方程分为两种情况：m=1，截止状态特征方程为：归一化截至频率为：（一阶贝塞尔函数的零点）其中HE 11模是光纤中的主模 理想极限：其截止频率为：截至波长为：可以以任意低的频率在光纤中传播，不存在截止。,m 2，截止状态特征方程为：归一化截止频率为：（m=2、3、4-，n=1、2、3-）m是贝塞尔函数的阶数，n是贝塞尔函数的零点；当m=2时，就是零阶贝塞尔函数的根，与TE01模和TM01模具有相同的截止参数，成为简并模。,例：某光纤 a=4.0m，0.003，纤芯折射率n1=1.48，对TE01和TM01模：最简单的模式TE01模和TM01在工作波长=1.31 m时不能传播，只能传播=0.85 m的光波。对EH 11模：=0.85 m的光波也不能传播。光通信工作波长在1.31 m和1.55 m，早期的协议规定用1.31 m，如果取 0.003，n1=1.46，则光纤的半径应该满足：这就是单模光纤直径选在89 m的依据。,3.多模光纤中的模式数量,截止状态下的特征方程为：因，当W=0时，利用贝塞尔函数的渐近式：特征方程改写成：利用作图法并考虑模之间的简并，其模式数量近似等于：常用的估算公式：式中：,阶跃折射率光纤中的功率流,沿光纤轴向单位横截面中传输的功率：LPmn模在纤芯中传输的功率因子：,r a,r a,两种极端状态：远离截至状态：功率几乎集中在纤芯传输；截至状态：,m=0，1,m 2,