信号与系统课件-2.连续系统时域分析.ppt

第二章 连续系统时域分析,系统的时域经典分析法 微分方程的算子表示 系统的零输入与零状态分析法 系统的阶跃响应与冲激响应 系统分析的卷积积分法,系统分析：,引言,系统分析的主要研究，在给定激励（输入）作用下，系统将产生什么样的响应（输出）。,分析的主要方法是，建立描述系统的数学模型，然后求解该模型，得出分析结果，必要时对结果进行必要的分析讨论。,2-1 线性连续时间系统的经典分析,一、系统微分方程,考虑下面的电路系统,回路1：,回路2：,代入元件参数，并利用消取法得到,二、统微分方程的求解,根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分是方程（2-1）对应的齐次微分方程的解y0(t);另一部分是方程（2-1）的一个特解yd(t)，即,一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描述该系统的微分方程为,（2-1）,1、微分方程的齐次解,方程（2-1）对应的齐次微分方程为,（2-2）,方程（2-2）的特征方程为,（2-3）,（1）当特征方程为互不相同的单根时，此时齐次解具有如下形式,（2）当特征方程有重单根时，假设i是特征方程的r重根，此时对应重根的齐次解具有如下形式,其余n-r个单根对应的解的形式与（1）相同,2、微分方程的特解yd(t),特解的函数形式与方程的右端项形式密切相关。表2-1列出了几种右端项对应的特解形式。,当不是特征根时,当是单特征根时,当是r重特征根时,表2-1,例2.1 二阶RLC串联电路暂态响应,t0,由KVL,有,(二阶常系数线性非齐次微分方程),(特征方程),二阶RLC串联电路暂态响应,t0,由KVL,有,(二阶常系数线性非齐次微分方程),(特征方程),特征根:,（自然频率、固有频率）,3、共轭复根：,2、重根：,1、两个单实根：,二、传输算子 1、微分算子,2、回路阻抗矩阵,3、算子形式的电路模型,4、节点导纳矩阵,5、传输算子,对于n阶系统：传输算子可表示为两个p 的多项式之比：,传输算子,5、只含有一个待求函数的微分方程,三、自然频率,1、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。,2、意义：反映系统时域特性,（、s 域频率特性）,响应时变规律系统的稳定性,3、求法；1）含源电路:算子形式电路模型;求H(p)；求D(p)=0的根。2）无源电路外加电源 外加电压源 外加电流源,反映系统频域特性,例1：如下电路的自然频率,1,2,3）矩阵行列式法,经典法基本步骤：,1）求系统数学模型；2）求齐次方程通解y0(t)；3）求非齐次方程特解yt(t)；4）写出非齐次方程通解 y(t)=y0(t)+yt(t)5）根据初始值求待定系数；6）写出给定条件下非齐次方程解。,2-2 连续系统时域经典分析,2-3 系统的全响应,微分方程为：,零输入响应是系统齐次微分方程的解,当系统的激励为零，但初始状态不为零时，系统的响应，通常用yx(t)表示。,一、零输入响应,系统的全响应就是系统微分方程的解。在分析系统时，通常把全响应分成零输入响应和零状态响应,微分方程为：,因初始状态为零，零状态响应是非齐次微分方程的特解,当系统的激励不为零，但初始状态为零时，系统的响应，通常用yf(t)表示。,二、零状态响应,三、全响应,2-4 系统的零输入响应的求解,一、零输入响应的通解表达式,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根：p1=p2=pr，其余单根,特征方程：,其中：常数Ai由初始条件确定,系统齐次微分方程的解,二、求解系统零输入响应的一般步骤,1）求系统的自然频率；2）写出零输入响应yx(t)的通解表达式；3）根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理求出系统的初始值：,4）将初值带入yx(t)的通解表达式，求出待定系数；5）画出yx(t)的波形。,例1：,求系统的响应 y(t)。,已知某系统激励为零，初始值为：,描述系统的传输算子为：,例2：,图示电路，,求 i1(t)、i2(t),1）i1(0-)=2A，i1(0+)=1A/s；2）i1(0-)=1A，i2(0-)=2A；,解:,已知：,例3:图示电路，t0，K闭合，电路稳定；t=0，K断开;求电流iL(t)。,解：,uc(0-)=8V,iL(0-)=2A,t0 时,t0 时,特征方程：,自然频率：,1）,由题可知：,2),3）,4）,uc(0+)=uc(0-)=8V,iL(0+)=iL(0-)=2A,5）画波形,2-5 连续系统冲激响应与阶跃响应,一、单位冲激响应,激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。,1）一阶系统的单位冲激响应,t 0时，因,所以，冲激响应的形式为：,特征方程：,特征根：,将（2）（3）代入（1）得：,所以，一阶系统的冲激响应为：,2）高阶系统的单位冲激响应,传输算子:,特征方程：,a）当nm，且特征根均为单根时：,将H(p)展开成部分分式：,b）当nm，特征根有重根时：,设重根为：p1=p2=pr 其余为单根,将H(p)展开成部分分式：,c）当n=m时：,先用长除法，再展开成部分分式：,此时，h(t)中含有冲激信号,d）当nm时：,同样先用长除法，再展开成部分分式：,a）求传输算子H(p)；b）如果mn,用长除法将H(p)化为真分式；c）H(p)部分分式；d）根据H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)；,3）求单位冲激响应的一般步骤,求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。,例1：已知描述某系统的微分方程为,答：,例2：已知描述系统的传输算子为：,求系统单位冲激响应h(t)，,答：,求f(t)=(t)时的零状态h(t)。,例3：已知描述某系统的微分方程为,答：,例4：已知图示电路的激励为f(t)=(t)，求零状态响应yf(t)。,解：先求H(p),二、单位阶跃响应,求解方法：,激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.,一阶系统：三要素法 高阶系统：经典法,2）,3）卷积积分法（后面讲）,例5：求例1系统当f(t)=U(t)时的零状态y(t)。,解：,2-6 卷积积分,一、定义：,积分式：,称为函数 f1(t)与 f2(t)的卷积，记作：,二、卷积积分的计算,1利用定义计算,2.利用卷积的性质计算,3.利用卷积积分表计算,4.利用图解法计算,1),2),3）,4),5）,（折叠）,（平移）,（相乘）,（积分）,图解法示意说明,当t-1,当-1t1,当1t2,当2t4,当t4,三、卷积积分的性质,卷积结果与交换两函数的次序无关。,1交换律,2.分配律,3.结合律,4、f(t)与冲激信号卷积,5、f(t)与阶跃信号卷积,6、f(t)与单位冲激偶信号卷积,7、时移性,8、积分性,9、微分性,10、微积分性,注意：,用性质9和10时必须同时满足,例1：已知f1(t)和f2(t)的波形，求y(t)=f1(t)f2(t),解：,（微积分性）,例2：已知f1(t)和f2(t)的波形，求y(t)=f1(t)f2(t),解：,t-1,t,一、系统零状态响应,2-7 连续系统时域卷积分析法,y(t)=yx(t)+yf(t),yx(t):取决于系统自然频率和初始值,(t),h(t),(t-),f()(t-),f()h(t-),h(t-),yf(t):取决于系统自然频率和激励,激励,响应,冲激响应：,（时不变性）,（齐次性）,（积分性）,零状态响应：,a）求传输算子H(p)；b）求单位冲激响应h(t)；c）计算卷积；,二、求零状态响应的一般步骤,解：,1 求H(p),2 求单位冲激响应,图示电路，,例1:,求零状态响应i(t)。,3 计算卷积,波形图：,例2：,解：,求h(t)。,例3：,求h(t)。,已知 f(t)=sintU(t)，,解：,例4：,已知 f(t)=e-t U(t),i1(0-)=2A,i2(0-)=0,解：,求t0时 uf(t)、ux(t)和u(t)。,p,p,（i1(0-)=2A,i2(0-)=0）,联接同一回路中的所有电感磁链在换路瞬间守恒,要求ux(t)先求i1(0+),i2(0+),本章要点：,一、分析目的：,二、描述：,微分方程,传输算子,自然频率,三、响应：,四、求法：,1）经典法,（直接解微分方程）,2）,自然频率,待定系数,3）,传输算子,部分分式,4）,卷积定义,卷积求法,卷积性质,本章结束,2、求解自然频率的特殊情况,1）独立电容与独立电感,2个独立电容,2个独立电感,uC1=uC2+uC3,iL1+iL2+iL3=0,系统自然频率的个数=系统中独立储能元件的个数,2）系统变量的自然频率,3）系统的自然频率,在求解某一特定变量时出现的自然频率,系统中所有变量自然频率的集合,当系统变量的自然频率与系统的自然频率不相等时：,注意：,计算系统自然频率时不要漏掉零自然频率。,一、齐次微分方程时域解,2-2 连续系统时域经典分析,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根：p1=p2=pr，其余单根,传输算子,其中：常数Ai有初始条件确定,二、非齐次微分方程时域解,时域解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,1),x(t)yt(t),2),3)yt(t)中的待定系数求法：,x(t)yt（t）,将yt(t)代入原方程比较方程两边相同项的系数,