信号与系统电子教案第三章(本科2013).ppt
1,Signals and Systems,信号与系统,赵书俊郑州大学物理工程学院电子科学与仪器实验中心,第三章 傅里叶变换,2,第三章 傅里叶变换,3.3 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 傅立叶变换3.5 典型非周期信号的傅立叶变换3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换3.7 傅立叶变换的基本性质,3.3典型周期信号的傅立叶级数,3.3典型周期信号的傅立叶级数,4,主要内容,本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：频谱的特点，频谱结构，频带宽度，能量分布。其他信号，如周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号,3.3典型周期信号的傅立叶级数,5,一、频谱结构,三角函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数频谱特点,3.3典型周期信号的傅立叶级数,脉冲宽度：,脉冲幅度：,重复周期：,6,1三角形式的谱系数,3.3典型周期信号的傅立叶级数,7,2指数形式的谱系数,3.3典型周期信号的傅立叶级数,8,3频谱及其特点,(1)包络线形状：抽样函数,(3)离散谱（谐波性）,3.3典型周期信号的傅立叶级数,9,抽样函数,3.3典型周期信号的傅立叶级数,10,3频谱及其特点,3.3典型周期信号的傅立叶级数,11,3频谱及其特点,3.3典型周期信号的傅立叶级数,若把相位为零的分量的幅度看作正值，把相位为的分量的幅度看作负值，那么幅度谱和相位谱可合二为一。,12,4总结,矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性。,3.3典型周期信号的傅立叶级数,13,不同周期、不同脉宽矩形脉冲信号的频谱,3.3典型周期信号的傅立叶级数,14,1.问题提出,二、频带宽度,第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。,3.3典型周期信号的傅立叶级数,15,而总功率,周期矩形脉冲信号的功率,二者比值,3.3典型周期信号的傅立叶级数,16,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。,2频带宽度,对于一般周期信号，将幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度。,一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：,3.3典型周期信号的傅立叶级数,17,语音信号 频率大约为 3003400Hz，,音乐信号 5015,000Hz，,扩音器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz。,3系统的通频带信号的带宽，才能不失真,3.3典型周期信号的傅立叶级数,18,3.3典型周期信号的傅立叶级数,三、周期对称方波信号,令，则有,19,3.3典型周期信号的傅立叶级数,三、周期对称方波信号,20,3.3典型周期信号的傅立叶级数,其他信号：周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号,3.4 傅立叶变换,22,对周期信号，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 时，有,一、从傅立叶级数到傅立叶变换,当 T 增加时，基波频率变小、离散谱线变密，频谱幅度变小，但频谱的形状保持不变。在极限情况下，周期T为无穷大，其谱线间隔与幅度将会趋于无穷小。这样，原来由许多谱线组成的周期信号的离散频谱就会联成一片，形成非周期信号的连续频谱。,3.4 傅立叶变换,23,一、从傅立叶级数到傅立叶变换,3.4 傅立叶变换,24,时,或者是,趋于有限值，记为，即,3.4 傅立叶变换,25,可以看出，实际上表示了频率为 分量的复振幅 Fn 与频率增量 f 的比值，因此可以理解为是一种密度频谱。即 表达了信号在处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。,3.4 傅立叶变换,频谱密度函数的意义,26,一般为复函数，可以写为,曲线称为非周期信号的幅度频谱,曲线称为非周期信号的相位频谱,幅度谱和相位谱都是频率 的连续函数，在形状上与相应的周期信号频谱包络线相同。非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱。,频谱密度函数的意义,3.4 傅立叶变换,27,T 时，有,由信号的频谱 重建非周期信号 的表示式因为,这就是傅立叶反变换的公式。,3.4 傅立叶变换,28,一般用符号 表示取傅立叶变换，这样有,上两式称为傅立叶变换对，其中第一式称为傅立叶正变换，简称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换，简称傅氏反变换。并采用下列记号：,傅立叶正变换,傅立叶反变换,二、傅立叶变换,3.4 傅立叶变换,29,傅立叶变换的三角函数形式,3.4 傅立叶变换,30,讨论：,从上式可以看出：非周期信号和周期信号一样，也可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。不同的是，由于非周期信号的 于是它包含了从零到无限高的所有频率分量。同时，三角函数振幅，故用频谱不能直接画出，必须用它的密度函数作出。,3.4 傅立叶变换,31,讨论：,最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。即 绝对可积，但是是充分条件，而非必要条件。所有能量信号均满足此条件。,3.4 傅立叶变换,三、傅里叶变换存在的条件,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,33,一、矩形脉冲信号,或,幅度谱,相位谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,34,由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数，其大部分能量集中在低频段。一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点到第一个零点的宽度，即矩形脉冲信号的有效带宽是,即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的。,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,35,二、单边指数信号,傅立叶变换为,幅度谱,相位谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,36,单边指数信号的幅度谱和相位谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,37,傅立叶变换为,幅度谱,相位谱,三、双边指数信号,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,38,双边指数信号的幅度谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,39,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,四、升余弦脉冲信号,40,频谱图,其频谱比矩形脉冲更集中。,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,41,五、符号函数,符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅立叶变换。可以借助于符号函数与双边指数函数相乘所得函数的傅立叶变换，然后取极限，从而得出符号函数的频谱，即,因为 所以,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,42,符号函数的幅度谱和相位谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,43,符号函数的幅度谱和相位谱,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,44,六、直流信号（补充）,不满足绝对可积条件，不能直接用定义求,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,45,时域无限宽，频带无限窄,3.5 典型非周期信号的傅立叶变换,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,47,一、冲激信号的傅里叶变换,1、正变换：冲激信号的傅里叶正变换（频谱）为：,可见：单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1。,物理意义：在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。因此这种频谱常称为“均匀谱“或”白色谱“。,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,48,2、逆变换：冲激频谱的傅里叶逆变换为：,可见：常数（直流信号）的频谱是在零频率处的冲激谱。,即：,可导出：,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,49,从频谱的角度理解傅立叶变换对，即直流信号的频谱是原点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 的频率成分，而不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，所以直流信号在 处的谱密度是无穷大。,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,50,二、冲激偶的傅里叶变换,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,推广：,51,所以由符号函数的傅里叶变换可求得阶跃信号的傅立叶变换为：,因为,三、阶跃信号的傅里叶变换,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,52,单位阶跃函数的频谱在 点存在一个冲激函数，因单位阶跃函数含有直流分量。此外，由于单位阶跃函数也不是纯直流信号，它在 点有跳变，因此在频谱中还出现其它频率分量。,3.6 冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换,3.7 傅立叶变换的 基本性质,54,主要内容,对称性质 线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性 微分性质时域积分性质,3.7 傅立叶变换的基本性质,55,3.7 傅立叶变换的基本性质,意义,傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：,了解特性的内在联系；用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。,56,若 则其中，a,b 均为常数。,说明:相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,一、线性性质,例:,3.7 傅立叶变换的基本性质,57,二、对称性,若，则,若 为实偶函数，则,说明:若 f(t)的傅立叶变换为 F()，则形状为 F()的波形对应傅立叶变换就是 2 f(t)。若 f(t)是实偶函数，则时域与频域完全对称。,例如：,则：,3.7 傅立叶变换的基本性质,58,二、对称性,3.7 傅立叶变换的基本性质,对称性例子：,直流和冲激函数的频谱,59,例:求取样信号 的频谱。,解：此题直接用傅立叶变换的定义公式求信号频谱很麻烦，这里根据傅立叶变换的对称性来求。由前面知道，高度为 E，宽度为 的对称矩形脉冲的频谱为 根据傅立叶变换的对称性，有,上式中，令，则有,3.7 傅立叶变换的基本性质,60,3.7 傅立叶变换的基本性质,61,三、虚实对称性,3.7 傅立叶变换的基本性质,1.一般对称性无论f(t)是实函数还是复函数，下式均成立：,62,2.f(t)是实函数,三、虚实对称性,总结：对实时间信号，信号的幅频为偶对称，相频为奇对称，傅立叶变换的实部为偶对称，虚部为奇对称。,其中,则,3.7 傅立叶变换的基本性质,63,2.f(t)是实函数,三、虚实对称性,3.7 傅立叶变换的基本性质,对一般的实信号,则有,64,若 f(t)为实偶函数，即 f(t)=f(t)，此时 则 F()R()必为 的实偶函数。,若 f(t)为实奇函数，即f(t)=f(t)，此时则 F()jX()必为 的虚奇函数。,总结：实偶信号的频谱为实偶函数；实奇信号的频谱为虚奇函数；,3.7 傅立叶变换的基本性质,65,例.实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,3.7 傅立叶变换的基本性质,66,例.实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数,3.7 傅立叶变换的基本性质,67,3.f(t)是虚函数,三、虚实对称性,3.7 傅立叶变换的基本性质,68,四、时移性质,若，则,说明:信号在时域中的延时和频域中的移相相对应。,3.7 傅立叶变换的基本性质,69,例：求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,令f0(t)表示矩形单脉冲信号，其频谱函数为F0()，则,3.7 傅立叶变换的基本性质,70,因为,脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。,由时移性质可知三脉冲函数f(t)的频谱函数F()为,3.7 傅立叶变换的基本性质,71,.,例.已知双Sa信号,试求其频谱。,令,3.7 傅立叶变换的基本性质,72,已知,由时移特性得到,3.7 傅立叶变换的基本性质,73,从中可以得到幅度谱为,双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。,3.7 傅立叶变换的基本性质,74,3.7 傅立叶变换的基本性质,双Sa信号的波形和频谱如图,75,说明:信号在时域中乘以，实际上是将信号在频域当中将整个频谱沿频率轴右移0个单位。频谱搬移技术在通信中得到了广泛的应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成。频谱搬移的原理是将信号乘以所谓载波信号。一般载波信号选取为正弦信号 或。,五、频移性质,若，则,3.7 傅立叶变换的基本性质,76,3.7 傅立叶变换的基本性质,77,一个未经调制的高频正弦信号为：,振幅,载频,相位,均为常数,载波,调幅,载波振幅随调制信号的变化规律而变。,调相,载波相位随调制信号的变化规律而变。,调频,载波频率随调制信号的变化规律而变。脉冲调制,经调制后的高频振荡信号叫已调波（调幅波、调频波、调相波和脉冲调制波），调频和调相均表现为总相角受到调变，因此统称为调角。,3.7 傅立叶变换的基本性质,信号调制技术在通信中的应用,78,调幅波,其中,是调制信号，,K是信号强度与振幅增量间成比例关系的系数,振幅按照调制信号的规律变化的高频振荡信号叫调幅波。,3.7 傅立叶变换的基本性质,79,3.7 傅立叶变换的基本性质,80,调幅信号的频谱（载波技术）,求：,的频谱？,3.7 傅立叶变换的基本性质,81,载波频率,3.7 傅立叶变换的基本性质,82,频移特性,3.7 傅立叶变换的基本性质,83,六、尺度变换性质,若，为任意实常数，则,当 a=1 时，有,说明:信号在时域中压缩（a1）等效于在频域中扩展 信号在时域中扩展（a1）等效于在频域中压缩。在无线通信中，通信速度与占用带宽是一对矛盾。,3.7 傅立叶变换的基本性质,84,3.7 傅立叶变换的基本性质,85,如果是尺度变换和时移同时发生，则有下面性质：,3.7 傅立叶变换的基本性质,86,七、时域微分性质,若,则,推广：对高阶导数情况，有,说明：微分特性应用的前提是，被微分的函数f(t)必须是收敛的。这一性质可将时域微分运算转变为频域的代数运算。,3.7 傅立叶变换的基本性质,3.7 傅立叶变换的基本性质,例：求三角脉冲的频谱。,方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用微分性质（二阶导数）方法三:利用卷积性质（后面叙述）,3.7 傅立叶变换的基本性质,89,3.7 傅立叶变换的基本性质,90,八、时域积分性质,若，则,所以有,例1：用积分性质求阶跃函数u(t)的傅里叶变换。,解：,注意：错误解法,3.7 傅立叶变换的基本性质,91,注意：,如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。,3.7 傅立叶变换的基本性质,92,解：,例2：,3.7 傅立叶变换的基本性质,93,3.7 傅立叶变换的基本性质,*频域微分、积分性质,若,则,94,Parseval定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。,九、Parseval定理,3.7 傅立叶变换的基本性质,95,3.7 傅立叶变换的基本性质,九、Parseval定理,96,NEXT：,第三章傅里叶变换,3.8 卷积特性（卷积定理）3.9 周期信号的傅里叶变换3.10 信号抽样的傅里叶变换3.11 抽样定理,
