信号与系统教案第4章fuxi.ppt

第四章 连续系统的s域分析,频域分析以虚指数信号ejt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2t(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率 s=+j,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率 s，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。,4.1 拉普拉斯变换,三、单边拉氏变换,简记为F(s)=f(t)f(t)=-1F(s)或 f(t)F(s),4.1 拉普拉斯变换,四、常见函数的拉普拉斯变换,1、(t)1，-,2、(t)或1 1/s，0,3、指数函数e-s0t,-Res0,cos0t=(ej0t+e-j0t)/2,sin0t=(ej0t e-j0t)/2j,4.1 拉普拉斯变换,4、周期信号fT(t),特例：T(t)1/(1 e-sT),4.1 拉普拉斯变换,五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系,Res0,要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。,根据收敛坐标0的值可分为以下三种情况：（1）0-2；则 F(j)=1/(j+2),4.1 拉普拉斯变换,（2）0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，,如f(t)=(t)F(s)=1/s,=()+1/j,（3）0 0，F(j)不存在。例f(t)=e2t(t)F(s)=1/(s 2),2；其傅里叶变换不存在。,4.2 拉普拉斯变换性质,4.2 拉普拉斯变换性质,一、线性性质,若f1(t)F1(s)Res1,f2(t)F2(s)Res2则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2),例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0,二、尺度变换,若f(t)F(s),Res0，且有实数a0，则f(at),Resa0,4.2 拉普拉斯变换性质,三、时移（延时）特性,若f(t)F(s),Res0,且有实常数t00,则f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res0,四、复频移（s域平移）特性,若f(t)F(s),Res0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat F(s-sa),Res0+a,4.2 拉普拉斯变换性质,五、时域的微分特性（微分定理）,若f(t)F(s),Res0,则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-),f(n)(t)snF(s),若f(t)为因果信号，则f(n)(t)snF(s),4.2 拉普拉斯变换性质,六、时域积分特性（积分定理）,若f(t)F(s),Res0,则,4.2 拉普拉斯变换性质,七、卷积定理,时域卷积定理 若因果函数 f1(t)F1(s),Res1,f2(t)F2(s),Res2则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s),复频域（s域）卷积定理,4.2 拉普拉斯变换性质,八、s域微分和积分,若f(t)F(s),Res0,则,4.2 拉普拉斯变换性质,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理,设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 f(t)F(s),Res0,00，则,4.3 拉普拉斯逆变换,4.3 拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-结合,若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,4.3 拉普拉斯逆变换,由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。,部分分式展开法,若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为,式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。,4.3 拉普拉斯逆变换,（1）F(s)为单极点（单根）,例1:,4.3 拉普拉斯逆变换,4.3 拉普拉斯逆变换,（2）F(s)有重极点（重根）,若A(s)=0在s=p1处有r重根，,K11=(s p1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1,复频域分析,复频域系统分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。,思路：用拉普拉斯变换的微分特性，方程两边做拉氏变换。,若f(t)在t=0时接入系统，则 f(j)(t)s j F(s)A(s)Y(S)=B(s)F(s),复频域分析,二、系统函数,系统函数H(s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,H(s)=L h(t),复频域分析,例 已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。,解,h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t),微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t),s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s),取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t)=2f(t)+8f(t),