优化设计的基本概念绪论.ppt

新世纪高校工程规划教材机 械 优 化 设 计,主讲人：于涛,机 械 优 化 设 计,第一章 优化设计概述第二章 优化方法的数学基础第三章 一维搜索方法第四章 无约束优化方法第五章 约束优化方法第六章 线性规划 第七章 多目标及离散变量优化方法简介第八章 优化设计过程中应注意的问题第九章 现代优化计算方法,第一章 优化设计概述,1-1 绪论1-2 优化设计问题的示例1-3 优化设计的数学模型 1-4 优化问题的几何解释和基本解法,1-1 绪论,一.优化 最优值(Optimum)最优化的简写为Opt.,1.优化 在规定的范围内（或条件下），寻找给定函数取得的最大值（或最小值）的条件。,例如,在右图中，求得一维函数 f(x)最小值的条件为：若取 x*，则 f(x)取得最小值 f(x*)。,目的是为了在完成某一任务时所作的努力最少、付出最小，而使其收益最大、效果最好。,2.优化过程 优化的过程是一种决策的过程。,例如，要求设计一个如右下图所示的防洪堤坝。为了能防洪水，高度必须足以保证洪峰到来时，洪水不会漫入堤岸；堤坝的强度足以保证巨浪不会冲垮堤坝。同时希望得到一个省时省力省经费的设计方案。,获得设计方案的过程是一个决策的过程，也是优化的过程。,所作的努力或希望的效益在实际问题中均可表达为一些决策变量的函数。,优化过程就是求解一个付出的努力最小、获得效益最大的方案。,实际问题表达成的函数类型很多：确定型、不确定型函数；线形、非线形（二次、高次、超越）函数。,变量类型也很多：连续、离散、随机变量等等。,求解问题的优化方法也很多，最常用的为数学规划法，它是运筹学的一部分。而运筹学是数学的一个分支。,产生很多的优化算法：无约束优化、约束优化：单目标函数优化、多目标函数优化；连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。,3.优化方法,传统设计与优化设计 传统设计：求得 可行解。优化设计：解得 最优解。,2.优化设计与最优控制 优化运用在设计领域 优化设计 优化运用在控制领域 最优控制,优化设计运用于各领域 土木工程、水利工程、城市规划、化工系统、电气系统、电子产品、机械产品 优化运用于机械产品的设计，称机械优化设计。,二.优化设计,优化是万物演化的自然选择和必然趋势。优化作为一种观念和意向，人类从很早开始就一直在自觉与不自觉地追求与探索。而优化作为一门学科与技术，则是一切科学与技术所追求的永恒主题，旨在从处理各种事物的一切可能的方案中，寻求最优的方案。优化的原理与方法，在科学的、工程的和社会的实际问题中的应用，便是优化设计。优化设计是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。优化设计反映出人们对于设计规律这一客观世界认识的深化。,例如，古代人类在生产和生活活动中经过无数次摸索认识到，在使用同样数量和质量材料的条件下，圆截面的容器比其他任何截面的容器能够盛放的谷物都要多，而且容器的强度也最大。,近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。一般说来，对于工程设计问题，所涉及的因素愈多，问题愈复杂，最优化设计结果所取得的效益就愈大。,最优化设计是在数学规划方法的基础上发展起来的，是6O年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。,1.传统机械设计理论与方法 疲劳寿命理论、强度理论、振动理论 常凭经验、试算、校核等方法。,现代机械设计理论与方法 60年代出现：计算机辅助设计CAD、有限单元法、可靠性设计、优化设计、设计方法学、价值工程、反求工程 90年代出现：并行设计、虚拟设计、仿生设计、协同设计,三.机械优化设计,机械优化设计 就是把机械设计与优化设计理论及方法相结合，借助电子计算机，自动寻找实现预期目标的最优设计方案和最佳设计参数。,优化设计流程,常规设计流程,3.机械优化设计的发展,经典优化设计:20世纪40年代起，数学规划论和计算机技术的发展使最优化设计计算成为可能。优化设计从无约束有约束优化问题；连续变量离散变量；确定型随机型模型；单目标优化多目标优化。,古典优化思想:17世纪发明微积分中的极值问题。,现代优化设计：20世纪80年代出现许多现代优化算法：模拟退火算法、遗传算法、人工神经网络算法、蚁群优化算法等。并从狭义优化设计（零部件参数）转向广义优化设计（面向产品的全系统、设计全过程、全寿命周期）。例如,针对涉及多领域复杂系统的多学科设计优化。,机械优化设计应用实例 美国波音飞机公司对大型机翼用138个设计变量进行结构优化，使重量减少了三分之一；大型运输舰用10个变量进行优化设计，使成本降低约10%。,实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低产品成本的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。,例如，工厂在安排生产计划时，首先要考虑在现有原材料、设备、人力等资源条件下，如何安排生产，使产品的产值最高，或产生的利润最大；又如，在多级火箭发射过程中，如何控制燃料的燃烧速率，从而用火箭所载的有限燃料使火箭达到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引导车辆的流向，尽量减少各个交叉路口的阻塞和等待时间、提高各条道路的车辆通行速度，在现有道路条件下取得最大的道路通行能力。,4.机械优化设计的作用,使传统机械设计中，求解可行解上升为求解最优解成为可能；使传统机械设计中，性能指标的校核可以不再进行；使机械设计的部分评价，由定性改定量成为可能；使零缺陷（废品）设计成为可能；大大提高了产品的设计质量，从而提高了产品的质量。,基础：（1）最优化数学理论（2）现代计算技术 内容：（1）将工程实际问题数学化；（建立优化设计数学模型）（2）用最优化计算方法在计算机上求 解数学模型。,优化设计是一种现代设计方法，是很好的工具。,四.本课程的任务,1-2 优化设计问题的示例,优化设计就是借助最优化数值计算方法与计算机技术，求取工程问题的最优设计方案。优化设计包括：（1）必须将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的一种最优化数值方法和计算程序运算求解。,例1-1 已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1，宽x2，高x3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；,箱盒的优化设计,图 1-1 箱盒例图,数学模型,设计参数：,设计目标：,约束条件：,例1-2 某建筑公司，在12000m2的土地上，建造分别占地1012 m2 和1617m2的甲、乙两种住房，甲种不能超过8所，每所可获利润1万元；乙种不能超过4所，每所可获利润 2万元。问两种住房各建几所可获得最大利润？,解：设建造甲、乙两种住房的数目分别为 x1，x2 目标函数：y=x1+2x2 约束条件：1012 x1+1617x2 12000 x18；x24；x1，x20该问题是在满足不等式约束条件下，使公司获得最大利润的优化设计问题,例1-3圆形等截面销轴受载情况的简化模型集中载荷F=10000N扭矩M=100N.m结构要求轴长度L不小于80mm许用弯曲应力=120MPa许用剪应力=80MPa允许挠度f=0.1mm密度=7.8 t/m3弹性模量E=2105Mpa求：销轴的质量最轻,d,F,L,M,图 1-2 悬臂梁例图,解：销轴质量最轻的目标函数表达式,限制条件 1.弯曲强度 最大弯曲应力不得超过许用值 故：2.扭转强度 扭转剪应力不得超过许用值 故：3.刚度 最大挠度不得超过许用值 故：,4.结构尺寸 悬臂梁的长度不得小于 故：以上实例均为实际问题的优化设计简单叙述。就是在一定约束条件下，选择适当的参数，并建立优化设计所规定的数学模型，选择合适的优化设计方法，通过计算机运算，才能获得最优设计方案或最优值。,已知：传动比i,转速n,传动功率P，大小齿轮的材料，设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：（1）圆柱齿轮的体积(v)与重量(w)的表达；（2）设计参数确定：模数（m），齿宽（b），齿数（z1）；（3）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。,直齿圆柱齿轮副的优化设计,数学模型,设计参数：,设计目标：,约束条件：,1-3 优化设计的数学模型,1.设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示，这些基本参数可以是构件尺寸等几何量，也可以是质量等物理量，还可以是应力、变形等表示工作性能的导出量。在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立的基本参数，称作设计变量，又叫做优化参数。,优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达式，它反映了物理现象各主要因素的内在联系，是进行优化设计的基础。,设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示。设计变量的数目称为优化设计的维数，如n个设计变量，则称为n维设计问题。,由n个设计变量 为坐标所组成的实空间称作设计空间。一个“设计”，可用设计空间中的一点表示。,按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量（例如轴径、轮廓尺寸等）和离散变量（例如各种标准规格等）。,只有两个设计变量的二维设计问题可用图1-3（a）所示的平面直角坐标表示；有三个设计变量的三维设计问题可用图1-3（b）所表示的空间直角坐标表示。,x2,x1,X=x1,x2T,O,x2,x1,x3,X=x1,x2，x3T,O,（a）二维设计问题（b）三维设计问题图1-3 设计变量所组成的设计空间,设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：一般含有210个设计变量；中型设计问题：1050个设计变量；大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计问题。,如何选定设计变量？任何一项产品，是众多设计变量标志结构尺寸的综合体。变量越多，可以淋漓尽致地描述产品结构，但会增加建模的难度和造成优化规模过大。所以设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即钢丝直径d，弹簧中径D，工作圈数n和自由高度H。在设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量等作为设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧中径D作为设计常量。,2.目标函数,在优化过程中，通过设计变量的不断向F(X)值改善的方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意的X值。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。在机械设计中，可作为参考目标函数的有：,体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等等。,为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以F(X)表示。,在最优化设计问题中，可以只有一个目标函数，称为单目标函数。当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。在一般的机械最优化设计中，多目标函数的情况较多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。,在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要求设计者正确处理各目标函数之间的关系。,目标函数等值（线）面,目标函数是n维变量的函数，它的函数图像只能在n+1维空间中描述出来。为了在n维设计空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。目标函数的等值面（线）数学表达式为：,c为一系列常数，代表一族n维超曲面。如在二维设计空间中，F(x1,x2)=c 代表x-x设计平面上的一族曲线。对于具有相等目标函数值的设计点构成的平面曲线或曲面称为等值线或等值面。,图1-4 等值线,图1-4表示目标函数f（X）与两个设计变量x1，x2阶所构成的关系曲面上的等值线，它是由许多具有相等目标函数值的设计点所构成的平面曲线。当给目标函数以不同值时，可得到一系列的等值线，它们构成目标函数的等值线族。在极值处目标函数的等值线聚成一点，并位于等值线族的中心。当目标函数值的变化范围一定时，等值线愈稀疏说明目标函数值的变化愈平缓。利用等值线的概念可用几何图象形象地表现出目标函数的变化规律。,从等值线上，可以清楚地看到函数值的变化情况。其中F=40的等值线就是使F(x1,x2)=40的各点x1,x2T所组成的连线。,如图函数 的等值线图。,图1-5 等值线,3.约束条件,设计约束：设计变量值(设计点)的选择不仅要使目标函数达到最优值，同时还会受一定的条件限制，这些制约条件称设计约束。,约束函数：设计约束是设计变量的函数，称为约束函数。,不等式约束函数：gu(x)0 u=1,2,m 等式约束数：hv(x)=0 v=1,2,pn,问题：是否每个设计约束中都必须包含 n个设计变量？m+p个约束呢？不等式约束能否表达成 gu(x)0？p 为什么必须小于 n?,例：有三个不等式约束 g1(x)=-x1 0 g2(x)=-x2 0 g3(x)=x12+x22-1 0,再加一个等式约束 h(x)=x1-x2=0,D,约束（曲）面：对于某一个不等式约束 gu(x)0 中，满足 gu(x)=0的 x 点的集合构成一个曲面，称为约束（曲）面。,它将设计空间分成两部分：满足约束条件 gu(x)0 的部分和不满足约束条件 gu(x)0 的部分。,设计可行域（简称为可行域）对于一个优化问题，所有不等式约束 的约束面将组成一个复合的约束曲面，包围了设计空间中满足所有不等式约束的区域，称为设计可行域。,记作 D=,g u(x)0 u=1,2,mh v(x)=0 v=1,2,p,问题：等式约束与约束曲面是什么关系？,D,可行设计点（内点）：在可行域内任意一点称为可行设计点，代表一个可行方案。,极限设计点（边界点）：在约束面上的点称为极限设计点。,若讨论的设计点 x(k)点使得 gu(x(k)=0，则 gu(x(k)0 称为 适时约束或起作用约束。,非可行设计点（外点）：在可行域外的点称为非可行设计点，代表不可采用的设计方案。,问题：极限设计点是否代表可行设计方案？什么约束一定是适时约束？可行域是否一定封闭？,显式约束 隐式约束 约束函数有的可以表示成显式形式，即反映设计变量之间明显的函数关系，有的只能表示成隐式形式,如复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。,根据约束的性质可以把它们区分成：性能约束针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；边界约束只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴段长度的限定范围就属于边界约束。,4.优化设计问题一般数学形式：,满足约束条件：,求设计变量向量,使目标函数,对于复杂的问题，要建立能反映客观工程实际的、完善的数学模型往往会遇到很多困难，有时甚至比求解更为复杂。这时要抓住关键因素，适当忽略不重要的成分，使问题合理简化，以易于列出数学模型，这样不仅可节省时间，有时也会改善优化结果。,最优化设计的目标函数通常为求目标函数的最小值。若目标函数的最优点为可行域中的最大值时，则可看成是求-F（X）的最小值，因为min-F（X）与maxF（X）是等价的。当然，也可看成是求1F（X）的极小值。,5.建模实例,1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可能反映该专业范围内的现代技术进步的成果。,2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。,3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。,4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。,建立优化设计问题的数学模型一般步骤：,例1-4,解：设计变量:A、型住宅的栋数x1，x2 目标函数:总售价最高，即：max F(X)=100 x1+150 x2 约束条件为：水泥用量不超过100吨，即 x1+x2100 木材用量不超过160吨，即 2x1+x2160 玻璃用量不超过410吨，即 2x1+5x2410 变量不能为负数，必须为整数 x1，x20 且为整数,综上所述，该问题的优化数学模型是 求 X=x1，x2 max F(X)=100 x1+150 x2 s.t.x1+x2100 2x1+x2160 2x1+5x2410 x1，x20 且为整数 目标函数和约束条件，都是变量x1，x2的线性函数,且变量x1，x2为非负整数，因此该问题是线性规划中的整数规划问题.,例1-5 空心扭转轴的优化设计 图1-6 空心传动轴 承受纯扭载荷的空心传动轴,在满足强度和扭皱稳定的条件下，求用料最省的设计方案解：轴的截面面积 S=(D2-d2)4 最大工作剪切应力max=16MD(D4-d4)扭转轴的扭皱稳定的临界剪应力=0.7E(Dd)2D3/2,M,M,D,d,材料的允许剪切应力为 数学模型建立如下：设计变量为 x1=D,x2=d X=x1，x2T 目标函数为：min F(X)=约束条件为：这是一个二维的约束非线性规划问题。,例1-6 2K-H型行星轮系的优化设计 图1-7 2K-H 型行星轮系 1太阳轮 2行星轮 3内齿圈 4行星轮架 已知传递功率N，输入转速n、传动比i，试设计重量最轻的结构方案。解：取太阳轮1和C个行星轮2的体积总和作为行星轮系的重量指标,设计变量 X=x1，x2，x3，x4T=b，m，Z1，CT 目标函数为 min F(X)=0.19635约束条件,弯曲强度,接触强度,例1-7：如下二维非线性规划问题,一、几何解释,1-4 优化问题的几何解释和基本解法,通过二维优化问题的几何求解来直观地描述优化设计的基本思想。,目标函数等值线是以点（2，0）为圆心的一组同心圆。如不考虑约束，本例的无约束最优解是：,，,约束方程所围成的可行域是D。,图1-8,图1-9,由图易见约束直线与等值线的切点是最优点，利用解析几何的方法得该切点为，对应的最优值为(见图）,用图解法求解,例1-8：,解：先画出目标函数等值线，再画出约束曲线，本处约束曲线是一条直线，这条直线就是容许集。而最优点就是容许集上使等值线具有最小值的点。,解：先画出等式约束曲线 的图形。这是一条抛物线，如图,例1-9：,再画出不等式约束区域，如图（选定哪侧区域）最后画出目标函数等值线，特别注意可行集边界点，,以及等值线与可行集的切点，易见可行域为曲线段ABCD。当动点沿抛物曲线段ABCD由A点出发时，AB段目标函数值下降。过点B后，在BC段目标函数值上升。过C点后，在CD段目标函数值再次下降。D点是使目标函数值最小的可行点，其坐标可通过解方程组：,得出：,由以上三个例子可见，对二维最优化问题。我们总可以用图解法求解，而对三维或高维问题，已不便在平面上作图，此法失效。在三维和三维以上的空间中，使目标函数取同一常数值的 X|f(X)=C,C是常数称为目标函数的等值面。等值面具有以下性质：（1）不同值的等值面之间不相交，因为目标函数是单值函数；（2）等值面稠的地方，目标函数值变化得较快，而稀疏的地方变化得比较慢；（3）一般地，在极值点附近，等值面（线）近似地呈现为同心椭球面族（椭圆族）。,求解优化问题的基本解法有：,二、基本解法,解析法：即利用数学分析(微分、变分等）的方法，根据函数（泛函）极值的必要条件和充分条件求出其最优解析解的求解方法。在目标函数比较简单时，求解还可以。,局限性：工程优化问题的目标函数和约束条件往往比较复杂，有时甚至还无法用数学方程描述，在这种情况下应用数学分析方法就会带来麻烦。,最优化方法是与近代电子计算机的发展紧密相联系的，数值计算法比解析法更能适应电子计算机的工作特点，因为数值计算的迭代方法具有以下特点：1）是数值计算而不是数学分析方法；2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；3）最后得出的是逼近精确解的近似解。这些特点正与计算机的工作特点相一致。,数值迭代法的基本思路：是进行反复的数值计算，寻求目标函数值不断下降的可行计算点，直到最后获得足够精度的最优点。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：,1）首先初选一个尽可能靠近最小点的初始点X（0），从X（0）出发按照一定的原则寻找可行方向和初始步长，向前跨出一步达到X（1）点；2）得到新点X（1）后再选择一个新的使函数值迅速下降的方向及适当的步长，从X（1）点出发再跨出一步，达到X（2）点，并依此类推，一步一步地向前探索并重复数值计算，最终达到目标函数的最优点。,1.求解步骤,在中间过程中每一步的迭代形式为：,图1-10迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图,上式中：X（k）第k步迭代计算所得到的点，称第k步迭代点;（k）第k步迭代计算的步长；S（k）第k步迭代计算的探索方向。,用迭代法逐步逼近最优点的探索过程如图所示。,运用迭代法，每次迭代所得新的点的目标函数都应满足函数值下降的要求：,（1）选择搜索方向（2）确定步长因子（3）给定收敛准则,收敛：,迭代法要解决的问题：,2.迭代终止准则,（1）点距准则,或,（2）函数值下降量 准则,或,（3）目标函数梯度 准则,上述准则都在一定程度上反映了逼近最优点的程度，但都有一定的局限性。在实际应用中，可取其中一种或多种同时满足来进行判定。,采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。可以取：,图1-11优化设计流程,三、优化设计 一般步骤,