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人教版八年级数学多媒体课件,勾股定理的逆定理,勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.,a,b,c,ABC中，C为直角.,BC2+AC2=AB2,即 a2+b2=c2,复习回顾,(3)已知c=19,a=13.则b=.(结果保留根号),(4)已知a:b=3:4,c=15,则b=.,(2)已知c=25,b=15.则a=.,在RtABC中,A,B,C的对边 为a,b,c(1)已知a=3,b=4.则c=.,5,20,12,注意:利用方程的思想求直角三角形有关线段的长,复习回顾,据说埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角就是直角。,由上图可知，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形。,如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，满足“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试。,由上面的例子，你有什么发现？,猜想：命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。,因为命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。,如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题。,一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。,可以证得命题2是正确的，它也是一个定理。我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理。,若原命题成立，它的逆命题是否也一定成立？,原命题成立的，它的逆命题也可能成立，如本章中的命题1成立，它的逆命题命题2也成立；,原命题成立的，它的逆命题也可能不成立，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个是对顶角”不成立。,勾股定理的逆定理是初中几何中极其重要的一个定理，有着广泛的应用。以下举例说明。,如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。,应用1,判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：,（1）a=15，b=8，c=17;,（2）a=13，b=14，c=15;,分析：根据勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小线段的平方和是否等于最大边长的平方。,判断三角形的形状,（1）152+82=225+64=289,解：,172=289,152+82=172，则这个三角形是直角三角形。,（2）132+142=169+196=365,152=225,132+142152，则这个三角形不是直角三角形。,像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。,应用2,用于求角度,如图，点P是等边ABC内一点，且PA=3a，PB=4a，PC=5a，求APB的度数。,分析：题目中没有任何的角度，故需要利用边的关系转化得到角度。则要把三边移到一直角三角形中利用勾股定理的逆定理解题。,Pl,解：,BC=BA，以点B为定点，将BCP转60到达BAPl，连接PlP，则PlA=PC=5a,PlBP=60,BPl=BP,PlBP是等边三角形.,PlP=PB=4a.,在APlP中，PA2+PlP2=(3a)2+(4a)2=(5a)2,由勾股定理的逆定理知APPl=90o,APB=APPl+BPPl=900+600=1500,应用3,用于求边长,在ABC中，D的BC边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求DC的长。,解：,在ABC中，122+52=132即AD2+BD2=AB2，由勾股定理的逆定理知,ADB=900,在RtADC中，DC=,应用4,用于求面积,已知ABBC，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，求四边形ABCD的面积.,解：,在RtABC中，由勾股定理得,连结AC，,AC=,在ACD中，AC2+CD2=52+122=132=AD2,由勾股定理的逆定理得 ACD=900,S四边形ABCD=SRtABC+SRtACD,应用5,用于证垂直,已知正方形ABCD中，AE=EB，AF=AD，求证：CEEF.,分析：证垂直常常可以通过证直角得到。已知条件只有边的数量关系，故需要把边的关系转化为角度的关系。,证明：,连结FC，设AF=1，则DF=3.,AE=EB=BC=CD=4,在RtAEF中，,同理得 EC2=20,CF2=25,EF2+EC2=CF2,由勾股定理的逆定理得,CEF=900,CEEF,梳理归纳,如果一个三角形的三条边长分别为a、b、c，且有a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。,判断三角形的形状,用于求角度,用于求边长,用于求面积,用于证垂直,定理:,定理应用:,练习,1、下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的有：,5，12，13 7，24，25 8，15，16 32，42，52,能构成直角三角形。,2、ABC的三边为a,b,c且(a+b)(a-b)=c2,则（）.,A.a边的对角是直角,B.b边的对角是直角,C.c边的对角是直角,D.是斜三角形,A,(a+b)(a-b)=c2,即 a2-b2=c2,a2=b2+c2,则a边的对角是直角,3、欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？,解：,在RtABC中，,AB=13,至少需要13米的梯子。,AB0,谢谢！,
