《自动控制原理》(第二版)第二章数学模型线性化.ppt

Part 非线性数学模型的线性化,常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法,Example,液面系统,单摆,Example,液面系统,单摆,单变量,多变量,常见非线性模型,数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数不依赖于自变量,针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理,叠加原理：可加性 齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,1.几种常见的非线性,常见非线性情况,饱和非线性,间隙非线性,单摆(非线性),是未知函数 的非线性函数，所以是非线性模型。,液面系统(非线性),是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,线性化的方法 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。（1）忽略弱非线性环节 如果元件的非线性因素较弱或者不在系统非线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略。,（2）偏微法,以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对稳态工作点的偏差。,增量（微小偏差法）,假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。,非线性方程 局部线性增量方程,偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法）偏微法基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用来减小或消除偏差，所以各元件只工作在平衡点附近。,A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数 忽略二次以上的各项，上式可以写成 这就是非线性元件的线性化数学模型,（3）平均斜率法 如果一非线性元件输入输出关系如图所示,此时不能用偏微分法，可用平均斜率法得线性化方程为,(死区)电机,注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如,不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。,增量方程,增量方程的数学含义 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。,多变量函数泰勒级数法,单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程,单摆模型(线性化),液面系统线性化,常数！,练习题：水位自动控制系统，输入量为Q1,输出量为水位H，求水箱的微分方程，水箱的横截面积为C，R表示流阻。,解：dt时间中水箱内流体增加（或减少）CdH应与水总变化量（Q1-Q2）dt相等。即：CdH=（Q1-Q2）dt 又据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有 其中 为比例系数。,显然这个式子为非线性关系，在工作点（Q20,H0）附近进行台劳级数展开。取一 次项得：为流阻。于是水箱的线性化微分方程为,