《结构力学》龙驭球10动力学.ppt

第 10 章,结构动力计算基础,高耸结构,10-1 动力计算的特点和动力自由度,1、结构动力计算的特点,动力荷载与静力荷载的区别,“静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。或者荷载虽随时间变化但变得很慢，对结构的影响与静力荷载比相差甚徵，这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，仍属于静力荷载。由它所引起的内力和变形都是确定的。,“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。,动力计算与静力计算的的区别,两者都是建立平衡方程，但动力计算，根据达朗伯原理利用动静法，建立的是形式上的平衡方程，力系中包含了惯性力；考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。,动力计算的内容：研究结构在动力荷载作用下的动力反应（内力、位移、速度、加速度及惯性力等）的计算原理和方法。,简谐荷载（按正余弦规律变化）,一般周期荷载,2、动力荷载分类,动力计算涉及到内外两方面的因素：1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等）；,3）计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。,按变化规律及其作用特点可分为：周期荷载：,荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的一种称为简谐荷载，荷载FP(t)随时间t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如转动电机的偏心力。其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。,结构动力学的任务讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供依据。,随机荷载：,冲击荷载：,tr,FP,tr,FP,短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载）,荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为随机荷载（如地震荷载、风荷载）。,3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。,实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。,m,m m梁,m,+m梁,I,I,2I,m,+m柱,厂房排架水平振动时的计算简图,单自由度体系,2个自由度,2个自由度,自由度与质量数不一定相等,4个自由度,m1,m2,m3,2个自由度,水平振动时的计算体系,多自由度体系,构架式基础顶板简化成刚性块,(t),v(t),u(t),无限自由度体系,自由度的确定举例:,W=2,W=2,*弹性支座不减少动力自由度,*为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。,W=1,5),W=2,*自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。,W=2,W=1,8)平面上的一个刚体,W=3,9)弹性地面上的三维刚体,W=6,W=2,W=1,W=13,*自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系。,（4）自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多(有限）自由度体系；自由度无限多的体系为无限自由度体系自由度。,（3）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。,（1）弹性支座不减少动力自由度。,（2）为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。,确定动力计算自由度时应注意以下几点:,广义坐标法：,假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表示。如具有分布质量 m 的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠度曲线可用三角级数来表示：,用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中,是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。,ak(t)称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所需确定的参数a k 只取有限项，则简支梁被简化为有限,自由度体系。(此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系),这样，就简化为有限自由度体系。,如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的体系，由于底部是固定端，因此 x=0 处，挠度 y 及转角 应为零。根据上述位移边界条件，挠度曲线近似设为,有限元法：,有限单元法可以看作为广义坐标的一种特殊应用。将结构分成若干个单元。单元的结点位移作为基本未知量（广义坐标）。整个结构的位移曲线则借助于给定的形状函数叠加而得。,1(x),2(x),如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角）作为广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、1，y2、2，y3、3，y4、4 作广义坐标。,通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。,每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别给出结点位移参数 y1 和1 相应的形状函数1(x)和2(x)。梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：,第10章 所有习题动力自由度数的判断，写在课本上,补充 体系运动微分方程的建立,要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。,运动方程,惯性力,形式上的平衡方程，实质上的运动方程,n 次超静定结构,基本结构在荷载作用下发生的 沿Xi方向的 位移,基本结构在Xj=1作用下发生的沿Xi方向的 位移,假设原结构沿Xi方向的位移为零,位移的地点,产生位移的原因,n 次超静定结构,3）表示柔度，只与结构本身和基本未知力的选择有关，与外荷载无关；,4）柔度系数及其性质,主系数,副系数,5)最后内力,一、柔度法,柔度系数,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。,柔度法实质：从变形协调角度建立运动微分方程,思路类同于力法方程的建立。,二、刚度法,刚度系数,刚度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求发生位移y所需之力；3.令该力等于体系外力和惯性力。,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。,刚度法实质：从静力平衡角度建立运动微分方程,思路类同于位移法方程的建立。,柔度法实质：从变形协调角度建立运动微分方程,思路类同于力法方程的建立。,三、列运动方程例题(1),例1.,l,将系数代入并整理后:,例2.,将系数代入并整理后:,柔度法步骤：1.在质量上沿位移正向加惯性力；2.求外力和惯性力引起的位移；3.令该位移等于体系位移。,k11 1+k12 2+k1n n+F1P=0,k21 1+k22 2+k2n n+F2P=0,kn1 1+kn2 2+knn n+FnP=0,具有n个独立结点位移的超静定结构：,位移法典型方程的物理意义：结点附加约束的反力之和等于零，所以方程右端恒等于零。位移法典型方程也是平衡方程。,刚度矩阵中的系数称为刚度系数：,对称方阵,主系数,副系数,约束的地点,产生反力的原因,基本结构j处附加约束发生单位位移在i处产生的约束反力,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.,层间侧移刚度,对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架),当两层之间发生相对单位水平位移时,两层之间的所有柱子中的剪力之和称作该层的层间侧移刚度.,三、列运动方程例题(1),例3.,经整理后,得:,三、列运动方程例题(1),例4.,三、列运动方程例题(1),列运动方程时可不考虑重力影响,例5.,-FP(t)引起的动位移,-重力引起的位移,质点的总位移为,加速度为,例6 建立图示体系的运动方程,思考题?,例7 建立图示体系的运动方程,方法2:,方法1:,三、列运动方程例题(2),例8.,=,简记为,位移向量,柔度矩阵,荷载向量,质量矩阵,例9.,=,刚度矩阵,10-2 单自由度体系的自由振动,自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。,自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。,研究单自由度体系的自由振动重要性在于：,1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。,2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。,自由振动反映了体系的固有动力特性。,要解决的问题包括：,建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼.,1、自由振动微分方程的建立,方法：达朗伯原理,应用条件：微幅振动（线性微分方程）,刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。,m,k,弹簧模型,由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。,m,如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为m。设柱本身质量比 m 小得多，可忽略不计。因此，体系只有一个自由度。,设由于外界干扰，质点 m 离开静止的平衡位置。干扰消失后，由于柱弹性力的影响，质点m 沿水平方向产生自由振动，在任一时刻 t质点的水平位移为 y(t)。,取质量 m 在振动中位置为 y 时的状态作隔离体，其上作用有惯性力,与加速度 反向；弹性力 与位移 反向。,动力平衡法（达朗伯原理）：,考虑质点上力系的平衡,柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。,可得与刚度法相同的方程,刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。,m,k,惯性力：,2、自由振动微分方程的解,改写为,其中,它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：,积分常数C1，C2 由初始条件确定。,设 t=0 时：,（d）式可以写成,由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令,(103)式改写成,它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A 和 可由下式确定,振幅,相位角,m,k,3、结构的自振周期,由式,及图，可见位移方程是一个周期函数。,周 期：,工程频率：,圆频率：,计算频率和周期的几种形式：,频率和周期的讨论：,只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；,与m 的平方根成正比，与 k 成反比，据此可改变周期；,是结构动力特性的重要数量标志。,例10-1、计算图示结构的频率和周期。,计算竖向振动周期,计算水平振动周期,例10-2、图示结构杆顶有重物，其重量为W，分别求水平和竖向振动的周期。,例10-3、计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡条件：,例 计算图示体系的自振频率。,练习10.1：结构柔度系数或刚度系数的求解。,一端铰结的杆的侧移刚度为：,两端刚结的杆的侧移刚度为：,l/8,l/8,练习10-2、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。,解：求柔度系数,l/8,l/2,据此可得：1 2 3=1 1.512 2,结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。,习题10-3,10-4,例、计算图示刚架的频率和周期。,由截面平衡条件：,质点沿振动方向发生单位位移在质点处沿振动方向所需要施加的力,质点沿振动方向的附加约束发生单位位移在质点处产生的约束反力,例、求图示结构的自振圆频率。,解法1：求 k,=1/h,MBA=kh=MBC,解法2：求,h,例、求图示结构的自振圆频率,例.质点重W,求体系的频率和周期.,解:,弹簧的并联与串联,（1）弹簧并联,（2）弹簧串联,K 发生单位位移所需施加的力,1,单位力作用下质点发生的位移,2,例、求图示结构的自振圆频率。设弹簧垫的刚度系数,解:,例、计算图示刚架的频率。（忽略柱子的质量）,解:,