《线性代数》第五章：矩阵的特征值.ppt
,第五章 矩阵的特征值【学习要求及目标】通过本章的学习使学生：（1）理解矩阵的特征值与特征向量的概念,熟练掌握求矩阵的特征值与特征向量的方法.（2）了解相似矩阵的概念与性质、矩阵可对角化的充要条件,掌握用相似变换化矩阵为对角矩阵的方法.（3）了解实对称矩阵的特征值与特征向量的性质.（4 了解实对称矩阵可对角化的充要条件,掌握应用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法,即实对称矩阵的对角化方法.,山西大学商务学院,线性代数,5.1矩阵的特征值与特征向量内容要点:特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的概念 定5.1.1 设 是 阶方阵,若数 和 维非零向量，使关系式成立,则称数 为方阵 的特征值,非零向量 称为的属于特征值的特征向量.这个定义告诉我们：1.特征向量一定是非零向量.2.特征向量是属于某一个特征值的,山西大学商务学院,线性代数,3.有了一个特征向量，就可以有无穷多个特征向量.,山西大学商务学院,线性代数,4.若,有特征值,，则,有特征值,如何求得矩阵,的特征值与特征向量呢？,由于,是非零向量，故齐次线性方程组,有非零解，所以这个式子等价于,因而,阶方阵,的特征值,，就是使齐次线性方程组,有非零解，满足方,程,的,的特,都是,矩阵,征值，那么.,的非零解就是特,征向量了.,定义5.1.2 称,山西大学商务学院,线性代数,为矩阵,的特征多项式，它是以,为未知数的一元,次多项式，记为,称,为矩阵,的特征方程,根据上述定义，求其特征值与特征向量的步骤如下：,山西大学商务学院,线性代数,从特征方程,中解出特征值,其中可能有重根,设,为方阵,的一个特征值，则由齐次线性,方程组,则可求得非零解,，设,为,的基础解系，则,的对应于特征值,的特征向量,全体是,根据上述定义，求其特征值与特征向量的步骤如下：,.,.,不同时为0）,例5.1.1 求矩阵 的特征值和特征向量,山西大学商务学院,线性代数,解,所以,山西大学商务学院,线性代数,特征值是,对应于,求解,的基础解系：,对应的方程组为,解得基础解系：,则,山西大学商务学院,线性代数,即为矩阵,属于,的全部特征向量.,当对应于,，求解,的基础解系：,对应的方程组为,解得基础解系：,则,则,即为矩阵,即为矩阵,属于,的全部特征向量.,例5.1.2 求矩阵 的特征值和特征向量,山西大学商务学院,线性代数,解,山西大学商务学院,线性代数,所以 的特征值是,对应于,，求解,的基础解系,对应的方程组为,山西大学商务学院,线性代数,解得基础解系：,则,是矩阵,属于,的全部特征向量.,当对应于,，求解,的基础解系：,对应的方程组为,山西大学商务学院,线性代数,解得基础解系：,则,即为矩阵,属于特征值,的全部特征向量.,例5.1.3 求n阶数量矩阵 的特征值与特征向量解,山西大学商务学院,线性代数,山西大学商务学院,线性代数,是 的n重特征值,所以 当对应于,，求解,的基础解系：,对应的方程组为,解得基础解系：,山西大学商务学院,线性代数,则矩阵,属于特征值,的全部特征向量.,山西大学商务学院,线性代数,.,特征值与特征向量的性质,性质1 设,是,阶矩阵，则,设,是,的,个特征值，则,山西大学商务学院,线性代数,其中,的全体特征值的和,称为矩阵,的迹,记为,性质2,阶矩阵,与它的转置矩阵,有相同的特征.,值.,性质3 设,是,阶矩阵,如果,(1),(2),有一个成立,则矩阵,的所有特征值,的模小于1,即,定理5.1.1 若 是 的属于特征值 的特征向量，又是属于特征值 的特征向量，则.,山西大学商务学院,线性代数,定理,阶矩阵,的互不相等的特征值,对应的特征向量,线性无关.,易见 1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量 3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.,5.2 相 似 矩 阵内容要点：相似矩阵与相似变换的概念 相似矩阵的性质 矩阵的对角化若方阵 能与另一个较简单的方阵 建立某种关系，同时又有很多共同的性质，那么我们就可以通过研究这个较简单方阵 的性质，获得方阵 的性质.,山西大学商务学院,线性代数,相似矩阵与相似变换的概念,定义5.2.1 设,都是,阶矩阵,若存在,阶可,逆矩阵,使,山西大学商务学院,线性代数,则称矩阵,与,相似，并称,是,的相似矩阵,记为,对,进行运算,称为对,进行相似变,换,称可逆矩阵,为相似变换矩阵.,矩阵的相似关系是一种等价关系，满足:,(1)反身性:对任意,阶矩阵,，有,相似;,(2)对称性:若,相似,，则,与,相似，;,(3)传递性:若,与,与,相似;,相似，;,与,相似;,则,相似矩阵的性质,(1)若,阶矩阵,相似,，则,;,与,;,的特征多,项式相同,从而,的特征值也相等,(2)相似矩阵的行列式相等.（同学们自己证明）(3)相似矩阵具有相同的可逆性,当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似,山西大学商务学院,线性代数,相似矩阵的秩相等.相似矩阵一定等价，等价矩阵具有相同的秩,矩阵的对角化,若能把方阵,相似变换到对角阵,，既存在可逆阵,，使,其中,则称方阵 可以对角化，否则，就称 不能对角化.,山西大学商务学院,线性代数,定理5.2.1 n阶方阵,可以对角化的充分必 要条件,方阵A有n个线性无关的特征向量.,证明 必要性 n阶方阵,可以对角化即,与,存在n阶可逆方阵,使得,相似,设,则由,，得,令,山西大学商务学院,线性代数,，易知,可逆，且,用,左乘上式两端得,即,与,相似，也,可以对角化.,就是说,实际上上面定理的证明过程已经给出了方阵对角化的,方法.,推论1 若n阶矩阵 有n个互异的特征值，,山西大学商务学院,线性代数,.则 与对角阵,相似.,定理 n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数.即设,是矩阵A的,重特征值,则,与,相似,:,矩阵对角化的步骤：,若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现:,(1)求出的 全部特征值;(2)对每一个特征值,设其重数为,则对应齐次方程组 的基础解系由 个向量 构成 即为 对应的线性无关的特征向量；(3)上面求出的特征向量 恰好为矩阵 的 个线性无关的特征向量;,山西大学商务学院,线性代数,（4）令,山西大学商务学院,线性代数,例5.2.1 判断 是否可以对角化，若可以，写出相似阵 及变换阵.,山西大学商务学院,线性代数,解,所以特征值为,将,代入方程组,，得基础解系为,将,代入方程组,，得基础解系为,有两个不同的特征值，所以,与对角阵,相似,5.3 实对称矩阵内容要点：实对称矩阵的性质 实对称矩阵的对角化 这里讲的对称矩阵都是只是对称矩阵.在上一节的讨论中，我们看到并不是任何矩阵都可以对角化的.但是有一类矩阵却是一定可以对角化的.这就是对称矩阵.,山西大学商务学院,线性代数,是对称矩阵的性质定理5.3.1 实对称矩阵矩阵的特征值必为实数.（证明略）注意:对实对称矩阵，因其特征值 为实数,故方程组是实系数方程组,由 知它必有实的基础解系,所以 的特征向量可以取实向量.定理5.3.2 设,山西大学商务学院,线性代数,是对称矩阵,的两个特征值,是对应的特征向量.,若,则,与,正交.,山西大学商务学院,线性代数,因,为对称矩阵，故,于是,即,但,，故,即,与,正交.,定理5.3.3 设,为,阶实对称矩阵,是,的特征方,程的,重根,则矩阵,的秩,从而对应特征值,恰有,山西大学商务学院,线性代数,重根,则矩阵,的秩,从而对应特征值,恰有,个线性无关的特征向量,定理,设,为,阶实对称矩阵,则必有正交矩,阵,使,其中,是以,的,个特征值为对角元素的对角,矩阵.,实对称矩阵的对角化,与上节将一般矩阵度角化的方法类似，根据上述结论，,可求的正交变换矩阵,将实对称矩阵,对角化，其具,体步骤为：,(1)求出 的全部特征值.(2)对每一个特征值,由 求出基础解系（特征向量）.(3)将基础解系（特征向量）正交化，再单位化.(4)以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵，使.注意：中列向量的次序与矩阵 对角线上的特征值的次序相对应.,山西大学商务学院,线性代数,
