《线性代数》第五章相似矩阵与二次型第6节.ppt

第六节 正定二次型,第六节 实二次型的正定性,正（负）定二次型的判定,正（负）定二次型的概念,二次型的规范形及惯性定理,下面我们限定所用的变换为实变换，来研究,一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，,也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，,其标准形一般来说是不唯一的,但标准形中所含,有的项数是确定的，就等于二次型的秩,二次型的标准形所具有的性质,再实施线性变换,则二次型化为,这种系数为1或-1的二次型称为二次型的规范形,一、二次型的规范形及惯性定理,惟一是指规范形中指标p和r是由二次型确定的，其中r是二次型的秩,p 称为二次型的正惯性指数.,任意一个实二次型,定理,总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,且规范形是惟一的.,称 r-p 为负惯性指数,正负惯性指数的差 2p-r 叫做符号差.,因为二次型的规范形,对应的矩阵为：,所以有以下推论：,任意实对称矩阵合同于对角形矩阵,恒有,若对任何非零向量,若对任何,恒有,则称实二次型,二、正(负)定二次型的概念,定义,负定,并称对称矩阵A为负定矩阵.,是实二次型，,为正定二次型,为负定二次型,例如,实二次型,为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数,全为正。,充分性：,三、正定二次型的判定定理,定理,设可逆变换,证明,必要性：反证法。,假设有,这与f为正定相矛盾。这就证明了,推论,，子式,称为矩阵A 的 i 阶顺序主子式。,A的各阶顺序主子式,定义,A的各阶顺序主子式,负正相间，,例 判断下列实二次型是否正定,解（1）f 的矩阵为,所以 f 是正定的。,解（2）f 的矩阵为,所以 f 是负定的。,例 求参数t 的范围，使下列二次型为正定二次型,2.正定二次型（正定矩阵）的判别方法：,(1)定义法；,(2)顺次主子式判别法；,(3)特征值判别法.,1.正定二次型与正定矩阵的概念,3.根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导,小 结,正定二次型与正定矩阵有何区别与联系？,