《线性代数》电子教程之十(向量组的线性相关性).ppt

1,线 性 代 数 电子教案之十,2,第十讲 向量组的线性关系,主要内容,维向量、向量组的概念,线性组合与线性表示；,线性相关与线性无关；,向量组线性相关性的重要结论.,基本要求,理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；,理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应；,3,理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系.知道两个向量组等价的概念；,理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系.,4,一、维向量,第一节 向量组及其线性组合,定义,个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，,这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量.,说明,向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.,个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为行向量，写成一列称为列向 量，也就是行矩阵和列矩阵.,规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算.,列向量常用小写黑体字母 表示，或用 希腊字母 表示.行向量则用列向量 的转置表示.,5,二、向量组,1.定义,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组.,6,三、向量组的线性组合,定义,给定向量组，对于任何一组实数，表达式,称为向量组 的一个线性组合，称为这个线性组合的系数.,说明,向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.,线性组合的系数可以是任意实数.,7,四、线性表示的概念,定义,给定向量组 和向量，如果存在一组数，使得,即 是向量组 的线性组合，则称向量 能由向量组 线性表示.,8,五、线性表示与方程的联系,根据以上说明，线性表示与方程的联系为：,向量 能由向量组 线性表示,线性方程 有解.,9,六、线性表示的判定,定理1,向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩.,根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得,（上章定理5）,10,解,析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式的求法.由定义知，向量 能由向量组 线性表示,方程 有解，即 有解，,这表明 由向量组 线性表示的表示式与方程 的解是一一对应的.,例题讲解,11,记,可见,因此，向量 能由向量组 线性表示.,例题讲解,12,由上述行最简形，可得方程 的通解为,因而，所求的表示式为,例题讲解,13,一、线性相关与线性无关的概念,第二节 向量组的线性相关性,定义,给定向量组，如果存在不全为零的数，使,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关.,说明,说向量组 线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用 的情形：,当 时，向量组只含一个向量.,向量组，当 时是线性相关的，当 时是线性无关的.,14,二、线性相关与齐次方程组的联系,向量组 线性相关,齐次线性方程组,有非零解.,向量组 线性无关,齐次线性方程组,只有零解.,15,三、线性相关与线性无关的判定,16,证,析：此题是一个具体问题，根据定理4，需要计算 和.,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,例题讲解,17,例题讲解,注意：,可见,所以,向量组 线性相关；,向量组 线性无关.,18,例7 已知向量组 线性无关，试证向量组 线性无关.,证,析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组 的线性相关性.,对于这一类未给出分量数值的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义.,因 组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量，也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而判定它是否线性相关.,例题讲解,19,证,设有 使,即,亦即,因 线性无关，故有,由于此方程组的系数行列式,例题讲解,20,故方程组只有零解，所以向量组 线性无关.,例题讲解,21,说明,证法是把证明向量组 线性无关转化为证明齐次 方程组 只有零解，这是讨论 向量组线性相关性时常用的“标准程序”.然后完全 用方程的语言证得结论.,22,四、向量组线性相关性的其它重要结论,向量组 线性相关的充要条件是存在某个向量，使 能由其余 个向量线性表示.,2.（定理5）,（）若向量组 线性相关，则向量 组 也线性相关.,（）个 维向量组成的向量组，当 时一定线性相关.,（）设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的.,证明,证明,证明,23,说明,定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量 后，仍然是线性相关的.特别地，含有零向量的 向量组线性相关.反之，线性无关的向量组减少 向量后，仍然是线性无关的.,结论1表明线性相关的向量组中的向量不是“独 立”的.,相应地，向量组 线性无关的充要条件是 中任意一个向量均不能由其余向量线性表示.,这形象地表明，线性无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁”.,定理5（）表明，向量个数超过向量维数向量 组线性相关.特别地，在平面中找不到三个线性 无关的向量，在 维超平面中找不到 个线性 无关的向量.,24,例题讲解,证,（1）因为 线性无关，则 线性无关，,又 线性相关，,因此 能由 线性表示.,（2）用反证法,假设 能由 线性表示，即,存在，使,又由（1）知存在，使,从而有,这与 线性无关矛盾.,思考题,25,（2）方法二,线性相关,线性无关,而,从而有,由此可知，方程组 无解，,即 不能由 线性表示.,26,矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组 的作用：,设矩阵 经初等行变换变成,矩阵 与 的行向量组等价，即它们能相互线 性表示，所以齐次方程 与 同解，这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础.,矩阵 与 的列向量组有相同的线性关系，这 是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将 其余向量用最大无关组线性表示的理论基础.,五、小结,27,向量组 与向量组 有相同的线性关系是指,与 一一对应；,的任一部分组,具有某种线性关系，对应的 的部分组 也有相同的线性关系.,28,作业：,P118 6.（2）10.（2）11,