《数学竞赛》第五章几何.ppt
2023/11/9,1,第五章 几 何,5.2 几个重要定理,2023/11/9,2,5.2 几个重要定理,2023/11/9,3,5.2 几个重要定理,2023/11/9,4,5.2 几个重要定理,例1：证明：在三角形中，（1）三条中线交于一点（重心）；（2）三条角平分线交于一点（内心）；（3）三条边的中垂线交于一点（外心）；（4）三条高交于一点（垂心）,2023/11/9,5,5.2 几个重要定理,例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).,2023/11/9,6,5.2 几个重要定理,例3：如图，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).,见课本P191.例1,2023/11/9,7,5.2 几个重要定理,例2：在ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).例3：如图，过ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P,Q，R，求证：P、Q、R三点共线（莱莫恩（Lemoine）线).,笛沙格（Desargues）定理,2023/11/9,8,例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图）。证明：AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,N,M,证法1：利用Ceva定理,2023/11/9,9,例4：设AD是ABC的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F（图）。证明：AD平分EDF,5.2 几个重要定理,见课本P195.例5,证法2：,Q,完全四边形的调和性,10,5.2 几个重要定理,2023/11/9,11,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,D,证法1：延长BP至D使PD=PC，连CD.然后证明AP=BD.,证明 ACPBCD.,2023/11/9,12,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,C,证明 ABCCBP.,证法2：在AP上取一点C，使PC=BP，连BC.然后证明 AC=PC.,2023/11/9,13,例5：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明 AP=BP+PC,5.2 几个重要定理,证法3(托勒密定理)：BCAP=ACBP+ABPC，所以 AP=BP+PC,2023/11/9,14,5.2 几个重要定理,2023/11/9,15,5.2 几个重要定理,五、西姆松（Simson）定理三角形外接圆周上任意一点在三边（所在直线）上的射影共线.,1,2,证法一：只需证 1+2=180,证法二：应用Menelaus定理,2023/11/9,16,2023/11/9,17,Menelaus定理,2023/11/9,18,改述为：如图，ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.,2023/11/9,19,改述为：如图，ABC中，E、F分别是AC、AB上的点，且EFBCBE与CF交于点O，AO交BC于D，求证：BD=DC.,P,(BC,D P)=-1,BD=DC,2023/11/9,20,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,证明四点共圆，通常用下列方法：（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）（2）证明是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）（3）相交弦定理之逆：若=O，证明（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角,2023/11/9,21,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例通过圆内接四边形一顶点和邻接二边中点作圆，证明这四圆共点,设O是四边形的外心，则OMAB，ONAD,因此，A、M、O、N共圆。,2023/11/9,22,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例2密克（Miquel）定理：在三边，所在直线上分别取，三点，则，三个圆共点.,1,2,3,2023/11/9,23,例3,见课本P204.例1,24,2023/11/9,25,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆,如图：，设是三边中点，是垂足，是垂心，是，的中点则，九点共圆,九点圆定理,2023/11/9,26,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,九点圆定理,九点圆的性质,三角形的九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半；三角形的九点圆心、外心、重心、垂心四心共线（欧拉线）；三角形的外心，重心，九点圆圆心，垂心分别为，则2 1,2023/11/9,27,5.3 几个典型的几何问题,一、共圆点问题,三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心分别为，则2 1,2023/11/9,28,见课本P205.例3,2023/11/9,29,5.3 几个典型的几何问题,二、共线点问题,证明三点（，）共线的方法：1.利用平角：证明XYZ=180（或0）2.证明与平行于同一条直线；证明、同在一定直线上；证明和某定直线的交点就是3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用Menelaus定理5.利用位似形的性质对应点连线过位似中心6.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等,2023/11/9,30,见课本P207,2023/11/9,31,证法二：利用二次曲线的极与极线.,N,例6：在中以为直径的圆交，于，求证：圆在，的切线与高线共点,分析一：设过E点的切线交AD于M，易证图中三个角相等，则ME=MH=MA.连FM，须证FM是圆的切线作F点的半径FO，只需证FOFM,O,1,2,3,结论为三线共点，注意到E、F的切线就是 E、F的极线.AD又是谁的极线？如果找到AD的极，可利用“共线点的极线共点”证明之.,2023/11/9,32,N,H,F,D,E,A,B,C,P,Q,“共线点的极线共点”,“共点线的极共线”,PQH,AP的极AQ的极AN的极,2023/11/9,33,N,P,Q,条件“BC为直径、H是垂心”有用么？,D,2023/11/9,34,圆也可以换.,2023/11/9,35,5.3 几个典型的几何问题,三、共点线问题,证明三线共点的方法：1.转化为共线点的问题来证明2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用Ceva定理4.利用位似形的性质对应点连线过位似中心5.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、布利安双（Brianchon）定理等6.解析法,2023/11/9,36,例（牛顿定理）.求证:圆外切四边形对边切点的连线与对角线四线交于一点.,2023/11/9,37,习题5.34.三圆两两相交，则三条公共弦所在直线平行或交于一点.,O1,O2,O3,P,F2,F1,2023/11/9,38,习题5.38.AB是半圆O的直径，过A、B引弦AC、BD，并过C、D引圆O的切线交于点P.过P作PEAB于E，则AC、BD、PE三线共点.,Q,2023/11/9,39,已知：ABAB，ACAC，求证：BCBC.,P,思考题：,2023/11/9,40,已知：ABAB，ACAC，求证：BCBC.,A,A,B,C,B,C,P,Q,R,.,.,.,.,.,.,.,.,.,帕普斯（Pappus）定理,思考题：,
