Poisson过程(使用版).ppt

1,第四章 Poisson过程,第一节 Poisson过程的定义,第二节 Poisson过程的若干分布,第三节 Poisson过程的推广,2,第一节 Poisson过程的定义,一、计数过程,则,且满足：,Home,3,注,如果在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的，则称计数过程有独立增量。,二、Poisson过程,满足,若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。,Home,4,则称,注意,从条件（3）可知泊松过程有平稳增量，且,并称,速率或强度,（单位时间内发生的事件的平均个数）,Home,5,说明1,Poisson过程具有很大的理论价值和应用价值,Home,考虑一个来到某“服务点”要求服务的“顾客流”，顾客到服务点的到达过程可认为是Poisson过程。,说明2,条件3即表明N(t)服从参数为t的Poisson分布,说明3,Poisson过程的数字特征为,6,说明4,要确定计数过程是Poisson过程，必须证明它满足三个条件。（条件3很难验证）,为此给出一个与Poisson过程等价的定义,满足,Home,7,则称,Home,两种定义的等价证明,8,例,已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。,解,设 表示在时间t时到达的顾客数,Home,|,9,1.到达时间间隔和到达时间的分布,符号说明,第二节 Poisson过程的若干分布,Home,显然,10,定理1,证,或,Home,11,那么类似地有,（增量的独立性）,（齐次独立增量过程）,Home,12,可见,一般地,Home,13,这就证明了到达时间间隔序列 是相互独立同分布的随机变量序列，且都具有相同均值为 的指数分布。,例3,甲、乙两路公共汽车都通过某一车站，两路汽车的到达分别服从10分钟1辆（甲），15分钟1辆（乙）的泊松分布。假定车总不会满员，试问可乘坐甲或乙两路公共汽车的乘客在此车站所需等待时间的概率分布及其期望。,解,反映甲、乙两路公共汽车到达情况的泊松分布,下面证明两路车混合到达过程 服从速率为,Home,14,事实上,且,所以由泊松过程的定义可知,因此,由定理1知公共汽车的到达时间间隔服从均值为6分钟的指数分布。,再由指数分布的无记忆性，,这位乘客的等待时间也服从均值为6分钟的指数分布。,Home,15,定理2,其概率密度为,证,因为,所以,Home,16,于是,Home,17,Home,回忆,由n个相互独立具有相同参数的指数分布的随机变量的和服从什么分布？,n阶Erlang分布,分布的可加性,|,18,2.事件发生时刻的条件分布,Home,在n1的条件下T1服从均匀分布,|,19,Home,