MATLAB的运算基础.ppt

第三讲 MATLAB的运算基础,1.简单的数学运算常用的数学运算符，*（乘），/（左除），（右除），（幂）在运算式中，MATLAB通常不需要考虑空格；多条命令可以放在一行中，它们之间需要用分号隔开；逗号告诉MATLAB显示结果，而分号则禁止结果显示。常用数学函数 abs,sin,cos,tan,asin,acos,atan,sqrt,exp,imag,real,sign,log,log10,conj等,elfun函数库中提供一系列复数函数,real 复数的实数部分real(b)imag 复数的虚数部分imag(b)abs 绝对值或模abs(b)angle 幅角 angle(b)结果为弧度angle(b)*180/pi 结果为角度conj 复数共轭conj(b),在MATLAB下进行基本数学运算，只需将运算式直接打入提示号（）之後，并按入Enter键即可。例如：(5*2+1.3-0.8)*10/25 ans=4.2000 MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans，代表MATLAB运算後的答案（Answer），并显示其数值于屏幕,运算是定义在数据结构上的，数组是其中最重要的一种数据类型。MATLAB的基本运算单元是 复数矩阵，标量、向量、常数矩阵都是其中的特例。注意：在运算时，数组与矩阵有显著不同，矩阵运算是从矩阵整体出发；数组运算时从数组的元素出发。,矩阵的建立可以通过赋值语句实现，赋值符号左边为变量名，右边为矩阵元素。矩阵元素应用方括号()括住。,y=2,4,53 6 8y=2 4 5 3 6 8,2.1 矩阵的输入,2.MATLAB矩阵运算,a=1;b=2;c=3;x=5 b c;a*b a+c c/bx=5.000 2.000 3.000 2.000 4.000 1.500,a.在命令窗口中输入,矩阵生成不但可以使用数字（含复数），也可以使用变量（或者说采用一个表达式），表达式可以由数字、变量、运算符和函数等组成。矩阵同行内的元素间用逗号或空格隔开，行与行之间用分号，矩阵的元素直接排列在方括号内，大的矩阵可以用分行输入，回车键代表分号。,例 在命令窗口输入语句 x=-1.3 1+2+3 sqrt(5),%sqrt是求平方根函数,按回车键，指令被执行，MATLAB命令窗中显示以下结果,x=-1.3000 6.0000 2.2361,（1）用线性等间距生成向量矩阵（start:step:end）a=1:2:10a=1 3 5 7 9,其中start为起始值，step为步长，end为终止值。当步长为1时可省略step参数；另外step也可以取负数。,b.语句生成,（2）a=linspace(n1,n2,n)在线性空间上，行矢量的值从n1到n2，数据个数为n，缺省n为100。a=linspace(1,10,10)a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,（4）函数库elmat提供的常用的特殊矩阵生成函数单位矩阵：eye(m,n);eye(m)零矩阵：zeros(m,n);zeros(m)一矩阵：ones(m,n);ones(m)对角矩阵：对角元素向量 V=a1,a2,an A=diag(V)随机矩阵：rand(m,n)产生一个0、1间均匀分布的mn的随机矩阵,rand(m),（3）a=logspace(n1,n2,n)在对数空间上，行矢量的值从10n1到10n2，数据个数为n，缺省n为50。这个指令为建立对数频域轴坐标提供了方便。a=logspace(1,3,3)a=10 100 1000,eye(3,4)ans=1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 zeros(2)ans=0 0 0 0,ones(3,2)ans=1 1 1 1 1 1 diag(2 3 6)ans=2 0 0 0 3 0 0 0 6 rand(2,3)ans=0.9501 0.6068 0.8913 0.2311 0.4860 0.7621,（5）用于专门学科的特殊矩阵魔方矩阵 magic(n)功能：魔方矩阵的元素由1到nn 的自然数组成，魔方矩阵的每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。其每行、每列及对角线上的元素之和均等于(n3+n)/2。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2个整数组成。m1=magic(2)%产生2阶魔方阵 m2=magic(3)%产生3阶魔方阵,m=magic(3)m=8 1 6 3 5 7 4 9 2,范得蒙矩阵 vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵，矩阵元素最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。v1=vander(1;2;3;5)v2=vander(1:3)v3=vander(1:4),v1=1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1,v2=1 1 1 4 2 1 9 3 1,v3=1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 64 16 4 1,希尔伯特矩阵hilb(n)生成n阶的希尔伯特矩阵invhilb(n)求n阶的希尔伯特矩阵的逆求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。format rat%以有理形式输出H=hilb(4)invH=invhilb(4),H=1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 invH=16-120 240-140-120 1200-2700 1680 240-2700 6480-4200-140 1680-4200 2800,帕斯卡矩阵n阶帕斯卡矩阵的生成函数的格式：pascal(n)求(x+y)4的展开式。p1=pascal(4)p1=1 1 1 1 1 2 3 41 3 6 101 4 10 20 由执行结果可知，矩阵次对角线上的元素1,4,6,4,1即为展开式的系数。,c 通过MAT数据文件加载矩阵,通过load命令或选择菜单FileImport Data命令加载MAT数据文件来创建矩阵。,d 在M文件中创建矩阵,M文件实际上是一种包含MATLAB代码的文本文件；通过在MATLAB命令窗口中运行M文件创建矩阵。,例:用linspace和logspace函数生成向量,t1=linspace(0,2*pi,5)t2=linspace(1,4,5)t3=logspace(0,2,3)%从1到100（即 100到102）按对数等分成3个点,eye(2,3)ans=1 0 0 0 1 0zeros(2,3)ans=0 0 0 0 0 0ones(2,3)ans=1 1 1 1 1 1V=5 7 2;A=diag(V)A=5 0 0 0 7 0 0 0 2,eye(2)ans=1 0 0 1zeros(2)ans=0 0 0 0ones(2)ans=1 1 1 1,如果已知A为方阵，则V=diag(A)可以提取A的对角元素构成向量V。,(1)转置：对于实矩阵用（）符号或（.）求转置结果是一样的；然而对于含复数的矩阵，则（）将同时对复数进行共轭处理，而（.）则只是将其排列形式进行转置。,a=1 2 3;4 5 6a=1 4 2 5 3 6,a=1 2 3;4 5 6.a=1 4 2 5 3 6,b=1+2i 2-7ib=1.0000-2.0000i 2.0000+7.0000ib=1+2i 2-7i.b=1.0000+2.0000i 2.0000-7.0000i,2.2 矩阵的运算,+-*和/.*.和./.如：a=1 2;3 4；b=3 5;5 9c=a+b d=a-bc=d=4 7-2-3 8 13-2-5a*b=13 23;29 51a/b=-0.50 0.50;3.50 1.50ab=-1-1;2 3a3=37 54;81 118a.*b=3 10;15 36a./b=0.33 0.40;0.60 0.44a.b=3.00 2.50;1.67 2.25a.3=1 8;27 64,(2)四则运算与幂运算,只有维数相同的矩阵才能进行加减运算。注意只有当两个矩阵中前一个矩阵的列数和后一个矩阵的行数相同时，才可以进行乘法运算。ab运算等效于求a*x=b的解；而a/b等效于求x*b=a的解。只有方阵才可以求幂。点运算是两个维数相同矩阵对应元素之间的运算，在有的教材中也定义为数组运算。,(3)逆矩阵与行列式计算求逆：inv(A)；求行列式：det(A)要求矩阵必须为方阵,4、矩阵超越函数在MATLAB中exp、sqrt等命令也可以作用到矩阵上，但这种运算是定义在矩阵的单个元素上的，即分别对矩阵的每一个元素进行计算。超越数学函数可以在函数后加上m而成为矩阵的超越函数，例如：expm,sqrtm。矩阵的超越函数要求运算矩阵为方阵。,a=1 2 3;4 5 6;2 3 5;b=inv(a)b=-2.3333 0.3333 1.0000 2.6667 0.3333-2.0000-0.6667-0.3333 1.0000det(a)ans=-3,A(m,n)：提取第m行，第n列元素A(:,n)：提取第n列元素A(m,:)：提取第m行元素A(m1:m2,n1:n2)：提取第m1行到第m2行和第n1列到第n2列的所有元素（提取子块）。A(:)：得到一个长列矢量，该矢量的元素按矩阵的列进行排列。矩阵扩展：如果在原矩阵中一个不存在的地址位置上设定一个数（赋值），则该矩阵会自动扩展行列数，并在该位置上添加这个数，而且在其他没有指定的位置补零。消除子块：如果将矩阵的子块赋值为空矩阵，则相当于消除了相应的矩阵子块。,2.3 矩阵的操作,(1)矩阵下标MATLAB通过确认矩阵下标，可以对矩阵进行插入子块，提取子块和重排子块的操作。,(2)矩阵的大小m,n=size(A,x)：返回矩阵的行列数m与n，当x=1，则只返回行数m，当x=2，则只返回列数n。length(A)=max(size(A)：返回行数或列数的最大值。rank(A)：求矩阵的秩,a=1 2 3;3 4 5;m,n=size(a)m=2n=3,length(a)ans=3max(size(a)ans=3,rank(a)ans=2,(3)了解矩阵操作函数：flipud；fliplr；rot90a=1 2 3;3 4 5;a1=flipud(a)a2=fliplr(a)a3=rot90(a),运行结果：a1=3 4 5 1 2 3 a2=3 2 1 5 4 3 a3=3 5 2 4 1 3,在MATLAB中，多项式使用降幂系数的行向量表示，如：多项式,p=poly(r)p=1-12-0 25 116,（1）多项式的建立与表示方法,r=roots(p)r=11.7473 2.7028-1.2251+1.4672i-1.2251-1.4672i,表示为：p=1-12 0 25 116，使用函数roots可以求出多项式等于0的根，根用列向量表示。若已知多项式等于0的根，函数poly可以求出相应多项式。,3.MATLAB多项式处理,（2）多项式的运算,相乘conva=1 2 3;b=1 2 c=conv(a,b)=1 4 7 6conv指令可以嵌套使用，如conv(conv(a,b),c)相除deconvq,r=deconv(c,b)q=1 2 3 商多项式r=0 0 0 余多项式求多项式的微分多项式polyderpolyder(a)=2 2求多项式函数值polyval(p,n)：将值n代入多项式求解。polyval(a,2)=11,（3）*多项式的拟合多项式拟合又称为曲线拟合，其目的就是在众多的样本点中进行拟合，找出满足样本点分布的多项式。这在分析实验数据，将实验数据做解析描述时非常有用。命令格式：p=polyfit(x,y,n)，其中x和y为样本点向量，n为所求多项式的阶数，p为求出的多项式。a=0 2 4 5 12 11 6 5;b=7 8 0 6 1 2 3 4;p1=polyfit(a,b,3)p2=polyfit(a,b,5),p1=-92/20803 81/721-1123/903 4597/601 p2=35/9043-281/2311 590/449-841/151 2780/399 1175/166,（4）*多项式插值 多项式插值是指根据给定的有限个样本点，产生另外的估计点以达到数据更为平滑的效果。该技巧在信号处理与图像处理上应用广泛。所用指令有一维的interp1、二维的interp2、三维的interp3。这些指令分别有不同的方法（method），设计者可以根据需要选择适当的方法，以满足系统属性的要求。Help polyfun可以得到更详细的内容。y=interp1(xs,ys,x,method)在有限样本点向量xs与ys中，插值产生向量y，所用方法定义在method中，有4种选择：linear：默认值，在样本点上斜率变化很大nearest：执行速度最快，输出结果为直角转折spline：最花时间，但输出结果也最平滑cubic：最占内存，输出结果与spline差不多,xs=0 2 3 5 8 9 12;ys=3 6 9 8 0 6 9;x=0:0.1:12;y1=interp1(xs,ys,x,nearest);y2=interp1(xs,ys,x,linear);y3=interp1(xs,ys,x,spline);plot(xs,ys,o,x,y1,b,x,y2,k,x,y3,r),4*MATLAB数据处理4.1、矩阵分解（1）奇异值分解U,S,V=svd(A),求矩阵A的奇异值及分解矩阵，满足U*S*V=A，其中U、V矩阵为正交矩阵（U*U=I），S矩阵为对角矩阵，它的对角元素即A矩阵的奇异值。,例：a=9 8 6 8u,s,v=svd(a)u=0.7705-0.6375 0.6375 0.7705s=15.5765 0 0 1.5408v=0.6907-0.7231 0.7231 0.6907,可以验证u*u=Iv*v=Iu*s*v=a,（2）特征值分解V,D=eig(A)例：a=9 8 6 8v,d=eig(a)v=0.7787-0.7320 0.6274 0.6813d=15.4462 0 0 1.5538,求矩阵A的特征向量V及特征值D，满足A*V=V*D。其中D的对角线元素为特征值，V的列为对应的特征向量。如果D=eig(A)则只返回特征值。,可以验证：A*V=V*D,（3）正交分解Q,R=qr(A)例：a=9 8 6 8q,r=qr(a)q=-0.8321-0.5547-0.5547 0.8321r=-10.8167-11.0940 0 2.2188,将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。,norm(q)ans=1,q*rans=9.0000 8.0000 6.0000 8.0000,（4）三角分解L,U=lu(A)将A做对角线分解，使得A=L*U,其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。注意：L实际上是一个“心理上”的下三角矩阵，它事实上是一个置换矩阵P的逆矩阵与一个真正下三角矩阵L1（其对角线元素为1）的乘积。L1,U1,P=lu(A)例：a=1 2 3;4 5 6;7 8 9 比较：l1,u1,p=lu(a)l,u=lu(a),l1=1.00 0 0 0.14 1.00 0 0.57 0.50 1.00u1=7.00 8.00 9.00 0 0.86 1.71 0 0 0.00p=0 0 1 1 0 0 0 1 0,l=0.14 1.00 0 0.57 0.50 1.00 1.00 0 0u=7.00 8.00 9.00 0 0.86 1.71 0 0 0.00,可以验证：u1=u，inv(p)*l1=la=l*up*a=l1*u1,4.2*常微分方程数值解t,x=ode23(xfun,t0,tf,x0,tol)t,x=ode45(xfun,t0,tf,x0,tol),本章所要掌握的是MATLAB语言的基本知识，包括MATLAB窗口环境的使用；矩阵运算及多项式处理。MATLAB的窗口环境是基础的基础，要求熟练掌握语句命令的输入、变量的使用、基本的数学函数及各种工作空间与文件管理的命令。要善于运用help命令自学。MATLAB具有强大的矩阵运算能力，要求熟练掌握矩阵的输入与生成，掌握矩阵的基本运算及操作，区分带点运算与不带点运算的不同；掌握多项式的建立与表示方法及多项式的基本运算。,本章总结,