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Excel与科学计算数学与信息科学系 汪远征,Excel与科学计算第1章 绪论,第1章 绪 论,科学计算又称为数值计算，是指应用计算机处理科学研究和工程技术中所遇到的数学计算,1.1 科学计算的基本概念,1.1.1 科学计算 自然科学规律通常表示为各种数学模型，科学计算的目的就是寻找这些模型的数值解 科学计算涉及庞大的运算量，简单的计算工具难以胜任 在计算机出现之前，科学研究和工程设计主要依靠试验提供数据，计算仅处于辅助地位计算机的迅速发展，使越来越多的复杂计算成为可能,1.1 科学计算的基本概念,1.1.1 科学计算 科学计算与科学理论及科学实验一起已成为当今世界科学研究的主要方式许多重大的科学技术问题无法求得理论解，也难以应用实验手段，但却可以进行计算 科学计算大大增强了人们从事科学研究的能力，加速了把科技转化为生产力的进程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的方法和途径 科学计算的主要任务就是根据实际问题构造相应的数学模型，把它转换为可以计算的问题，称为数值问题；然后根据问题特点设计高效的算法，称为数值算法并编制程序，在计算机上求解,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程 科学计算的过程主要包括建立数学模型、建立求解的计算方法和计算机实现三个阶段,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程1.数学模型 建立数学模型就是依据有关学科理论对所研究的对象确立一系列数量关系，即一组数学公式或方程复杂模型的合理简化是避免运算量过大的重要措施 考虑一个经典的抛物运动的例子：【例1-1】设有一门大炮朝35方向发射一枚初速度为100m/s的炮弹，求炮弹可达到的最高高度,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程1.数学模型【例1-1】设有一门大炮朝35方向发射一枚初速度为100m/s的炮弹，求炮弹可达到的最高高度,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程1.数学模型【例1-1】设有一门大炮朝35方向发射一枚初速度为10.0m/s的炮弹，求炮弹可达到的最高高度 要建立能够描述炮弹运动规律的数学方程，必须在模型的准确性和模型的简洁性之间做出平衡为此做出如下假设：1)地面是水平的；2)发射点位于水平的地面上；3)无需考虑风的阻力,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程1.数学模型【例1-1】设有一门大炮朝35方向发射一枚初速度为10.0m/s的炮弹，求炮弹可达到的最高高度利用运动学的基本定律，可以写出如下方程：(1.1)其中h代表炮弹的高度，v是炮弹的初速度，是炮弹发射角度，g是重力加速度，t是发射时间 方程(1.1)描述炮弹飞行高度与时间的关系,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程1.数学模型(1.1),1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)2.解析解 解析解就是精确解为了求得炮弹飞行的最大高度，对方程(1.1)求导数：当导数为零时，炮弹飞行的高度达到极限（最大值或最小值），此时有,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)2.解析解,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)2.解析解这表示炮弹经过0.585秒后到达最高点代入方程(1-1)得：即炮弹飞行的最高高度为1.68m,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)3.数值解 数值解是一个近似解，它是利用计算机程序来求解问题数值解的求解通过定义一系列的步骤或规则，逐步得到 虽然求得的解是近似解，但其好处是不需要面对复杂的数学方法,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)3.数值解 假定炮弹在发射和落地时的高度都为零，在其间的某个时刻达到最高点 在飞行的前半部分，飞行的高度逐渐增大，在后半部分飞行的高度逐渐减小 若能确定这样一个时刻：在该时刻之后,炮弹飞行的高度不再增大,并且开始减小,那么就可以确定该时刻即炮弹到达最高点的时刻,同时也知道了炮弹飞行的最高高度,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)3.数值解新建一个Excel数据表，将单元格A1的名称改为：h，并自定义单元格格式：时间间隔0.00,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)3.数值解新建一个Excel数据表，将单元格A1的名称改为：h，并自定义单元格格式：时间间隔0.00评注：大约在0.58s时，炮弹达到最高点1.6767m处，如果需要更加精细的数值解，可以缩小时间间隔,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程(1.1)3.数值解选中单元格区域B2:C118，作散点图，修改图形属性如图所示从图中可以看到炮弹的最高点约为1.7m,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程4.解析解与数值解的比较 解析解是通过使用复杂的数学方法对数学模型求解所得的结果，只要采用正确的代数和微积分原理，正确的数学推导过程，解析解得到的精度总是可以达到所要求的有效位数 而数值解则是通过数值方法（计算机可执行的系列计算公式）对数学模型求解的结果通常需要计算函数在自变量的某些特定点处的值称为离散值数值解的计算过程决定了数值解是近似解,1.1 科学计算的基本概念,1.1.2 科学计算过程4.解析解与数值解的比较 既然解析解是精确解，数值解是近似解，为什么还要使用数值解呢？在例1-1中，根本不需要数值解，很容易得到其解析解具有微积分和代数背景知识的人很容易求出其解析解，此时，解析解为我们的首选 但是，在一些实际的科学与工程领域，遇到的大多是用数学知识无法解决的问题，甚至遇到一些根本不存在解析解的问题,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算1.方程求根问题高次代数方程 x5 3x1=0超越方程 e-x cosx=0看似简单，但难求其精确解。,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算2.解线性方程组的问题 如用克莱默法则求解一个n阶方程组，要算n+1个n阶行列式的值，总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。当n充分大时，计算量是相当惊人的 一个20阶不算太大的方程组，大约要做1021次乘法，这项计算即使每秒1万亿次浮点数乘法计算的计算机去做，也要连续工作2000万亿年才能完成。当然这是完全没有实际意义的，故需要寻找有效算法,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算3.定积分问题由微积分知识知，定积分的计算可以使用牛顿莱布尼兹公式：其中F(x)为被积函数f(x)的原函数。原因之一：许多形式上很简单的函数，例如等，它们的原函数不能用初等函数表示成有限形式。,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算3.定积分问题原因之二：有些被积函数的原函数过于复杂，计算不便。例如的一个原函数是,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算3.定积分问题原因之三：f(x)以离散数据点形式给出：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.3 为什么要学习科学计算4.常微分方程初值问题对一些典型的微分方程，如可分离变量方程、一阶线性方程等，有可能找出它们的一般解表达式，然后用初始条件确定表达式中的任意常数，这样即能确定解。但是对于某些常微分方程初值问题，如：则无法求出一般解,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想 在科学计算中有各种不同的方法，它们依据不同的思想而建立，这些思想归结起来有如下几种1.逐次逼近思想“逐次逼近思想”体现了“以时间换精度”的原则.它通过构造某种迭代格式来产生下一个更好的近似值，如此循环，产生越来越好的近似值，直到令人满意的结果出现为止,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想1.逐次逼近思想【例1-2】使用逐次逼近方法来计算 分析：因为，记则有方程，由此建立迭代格式：，k=0，1，2，.,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想1.逐次逼近思想【例1-2】使用逐次逼近方法来计算 记则，k=0，1，2，.,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想1.逐次逼近思想【例1-2】使用逐次逼近方法来计算 记 则，k=0，1，2，.新建一个Excel数据表，输入数据和公式：可以看到，近似为2.236068 评注：逐次逼近法使得我们可以通过简单的四则运算获得较为复杂的求平方根运算,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想2.逐步逼近思想“逐步逼近思想”体现了“以空间换精度”的原则.当求解区域整体处理比较复杂，而局部处理相对容易的时候，通过将整体区域化整为零，剖分为若干小区域，将每个小区域上的计算结果叠加起来，得到整体结果的近似解,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想2.逐步逼近思想【例1-3】求积分 分析：将区间等分为n个小区间，分点为：xk=a+kh，k=0，1，.，n，每个小区间xk，xk+1上的积分可以用梯形法来近似：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想2.逐步逼近思想【例1-3】求积分 分析：将区间等分为n个小区间，分点为：xk=a+kh，k=0，1，.，n，每个小区间xk，xk+1上的积分可以用梯形法来近似：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想2.逐步逼近思想【例1-3】求积分 分析：将区间等分为n个小区间，分点为：xk=a+kh，k=0，1，.，n，每个小区间xk，xk+1上的积分可以用梯形法来近似：这样就把求定积分的运算转换成函数值的计算，无论被积函数多么复杂，函数值的计算总比求积分容易多了！,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想3.以直代曲思想“以直代曲思想”是在一个有限范围内，以直线代替曲线，用平面代替曲面，用线性函数代替非线性函数，其目的是把复杂问题转化为容易处理的问题 例如，解非线性方程f(x)=0等价于求曲线y=f(x)与x轴的交点 将函数f(x)在点xk作Taylor展开，并近似到一阶，这样就把非线性方程f(x)=0近似为一个线性方程：f(x)f(xk)+f(xk)(x xk)=0,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想3.以直代曲思想 例如，解非线性方程f(x)=0等价于求曲线y=f(x)与x轴的交点 将函数f(x)在点xk作Taylor展开，并近似到一阶，这样就把非线性方程f(x)=0近似为一个线性方程：f(x)f(xk)+f(xk)(x xk)=0,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想3.以直代曲思想 例如，解非线性方程f(x)=0等价于求曲线y=f(x)与x轴的交点 将函数f(x)在点xk作Taylor展开，并近似到一阶，这样就把非线性方程f(x)=0近似为一个线性方程：f(x)f(xk)+f(xk)(x xk)=0由此不难解出x，作为xk的下一个改进解xk+1，k=0，1，2，.就是著名的Newton迭代公式局部线性化和迭代相结合,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想“外推加速思想”最具代表性的方法是Richardson外推法 设用步长为h的算法I1(h)去逼近量I（与h无关）：(1.2)其中（k=1，2，.）为与h无关的常数，且0 p1 p2.，即,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想 设用步长为h的算法I1(h)去逼近量I（与h无关）：(1.2)且0 p1 p2.，即,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想 设用步长为h的算法I1(h)去逼近量I（与h无关）：(1.2)且0 p1 p2.，即 为了提高逼近精度，将h缩小一半，用步长为h/2的算法去逼近I：用 乘上式两边，再与(1.2)式相减,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即 用 乘上式两边，再与(1.2)式相减,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即 用 乘上式两边，再与(1.2)式相减，得两边同除以 得：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即 上式说明，当h充分小时 是量I的更好的逼近，即：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即 是量I的更好的逼近，即：,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即 是量I的更好的逼近，即：类似地，若定义(1.3)则有,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即(1.3)则有,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想(1.2)且0 p1 p2.，即.(1.3).用若干个近似值通过简单代数运算推出更精确近似值的方法称为外推法,形如(1.3)的外推法称为Richardson外推法,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想【例1-4】使用外推法计算圆周率 分析：单位圆内接近n边形面积为，记则有 由sin(h)的Taylor展开：即有,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想【例1-4】使用外推法计算圆周率 分析：单位圆内接近n边形面积为，记则有,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想【例1-4】使用外推法计算圆周率 分析：单位圆内接近n边形面积为，记则有 由(1.3)式，可令，.则S1(h)，S2(h)，S3(h)，.且一个比一个收敛得快,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想4.外推加速思想【例1-4】使用外推法计算圆周率 新建一个Excel数据表，输入以下数据和公式：评注：利用圆内接正64边形的面积，外推两次算出的近似值为3.1415926，如果仅靠计算圆内接正n边形的面积，需要计算到上万边形的面积，才能达到这个精度,=(16*D3-D2)/15,=(4*C3-C2)/3,=SIN(PI()*B2)/B2,=2/A2,E2,D2,C2,B2,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想5.函数逼近思想 构造某个简单函数p(x)近似地表示f(x)，这就是函数逼近问题 逼近方式有两种：插值和拟合 插值是指在给定一系列点值上构造一种函数，使得函数曲线通过这些点，或满足一些特性 插值方法在科学计算中有着重要的地位，它可以使复杂的函数值计算变得比较简单，也可以提高迭代、递推等算法的精度和收敛速度,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想5.函数逼近思想 构造某个简单函数p(x)近似地表示f(x)，这就是函数逼近问题 逼近方式有两种：插值和拟合 拟合则是构造一种函数，使得它与复杂的函数f(x)比较近似，从而近似替代复杂的函数 通常采用的拟合函数为多项式、有理函数、三角函数等,1.1 科学计算的基本概念,1.1.4 科学计算方法的主要思想6.离散化思想“离散化思想”是将一个连续变化的变量划分为一系列的离散值，再计算其他值 例如：将变量区域a，b划分为一系列的小区间：xk，xk+1，k=0，1，.，n，再计算 yi=f(xi)有时，也可以将离散的值拟合为连续函数,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念 认识在做科学计算时可能产生的误差是非常重要的，一些误差产生于使用计算机做代数运算时的方法，但还有其他产生误差的原因,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念1.误差的来源 从科学研究和实际工程技术问题计算的全过程来看，误差的来源主要有四个方面(1)观测误差：受测量工具本身精度的影响 以数学方程为模型的实际问题，其系数通常都不太准确，原因是实际问题经常依赖于测量的精度(2)模型误差：因简化和抽象，数学模型本身包含的误差,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念1.误差的来源(3)截断误差：近似解与精确解之间的误差，将数值问题转化为数值方法时产生(4)舍入误差：取有限位小数所引起的误差 例如，公式所产生的误差即截断误差而R=3.14159=0.0000026.所产生的误差即舍入误差,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念1.误差的来源 当然，疏忽大意造成的错误不属于误差 为了简单起见，我们总假定：由实际问题建立的数学模型是合理的，参量也是足够精确的 这样，我们就无需关注实际问题中的观测误差以及建立数学模型所产生的模型误差，进而主要讨论截断误差和舍入误差,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念2.绝对误差与相对误差 首先来看如何描述误差【定义1-1】设x为精确值，x*为x的近似值，称E(x*)=|x*x|为近似值x*的绝对误差，简称误差，简记为E 若E=|x*x|(x*)，则称(x*)为x*的绝对误差限，简称误差限，简记为 显然 0，而且x的范围：x*x x*+工程上常记为：x=x*,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念2.绝对误差与相对误差 绝对误差限不能完全表示近似程度的好坏，如x=100 2，y=10 1【定义1-2】称 为近似值x*的相对误差若则称r(x*)为近似值x*的相对误差限,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念2.绝对误差与相对误差由于说明 与 相差很少，而 不易知道故用 代替,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念2.绝对误差与相对误差注：(1)绝对误差和绝对误差限有量纲，而相对误差和相对误差限无量纲，常用百分数表示 仍然考虑：x=100 2，y=10 1：即x*=100，y*=10的相对误差限分别是2%与10%，故x*近似x的程度比y*近似y的程度好(2)绝对误差限与相对误差限均不唯一（上限不唯一，越小越好）,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位 表示精度的另一个量是有效数位，即一个数的多少位是有意义的在有效数位后的多余位数是没有意义的【定义1-3】设x=0.a1a2 anan+110k，十进制标准表示式（a1 0）若即|x*x|则称x*的有效数位为n，这n个数字都称为有效数字,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位【定义1-3】设x=0.a1a2 anan+110k，十进制标准表示式（a1 0）若即|x*x|则称x*的有效数位为n，这n个数字都称为有效数字,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位【定义1-3】设x的近似值x*的绝对误差限是其某位数的半个单位，该位数到x*的左边第一个非零数字共有n位数则称x*有n位有效数字设x=0.a1a2 anan+110k，十进制标准表示式（a1 0）若即|x*x|则x*有n位有效数字,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位通俗地说，x*的有效数位为n意味着x*满足两个条件：(1)x*从左边第一个非零数字到末位数字共有n位数；(2)x*的绝对误差限不超过其末位数的半个单位 如设x=3.14159265=0.314159265101 取x*=3.14，则|x*x|=0.00159265 0.005=即有效数位为3,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位通俗地说，x*的有效数位为n意味着x*满足两个条件：(1)x*从左边第一个非零数字到末位数字共有n位数；(2)x*的绝对误差限不超过其末位数的半个单位 如设x=3.14159265=0.314159265101 取x*=3.141，则|x*x|=0.0005926 0.005=即有效数位为3,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念3.有效数位通俗地说，x*的有效数位为n意味着x*满足两个条件：(1)x*从左边第一个非零数字到末位数字共有n位数；(2)x*的绝对误差限不超过其末位数的半个单位 如设x=3.14159265=0.314159265101 取x*=3.142，则|x*x|=0.0004073 0.0005=即有效数位为4,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念4.函数运算中的误差 当自变量有误差时，计算相应的函数值也会产生误差，其误差限可由泰勒展式估计(1)设y=f(x)具有二阶连续导函数，x*为x的近似值，则,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念4.函数运算中的误差 当自变量有误差时，计算相应的函数值也会产生误差，其误差限可由泰勒展式估计(2)若y=f(x1,x2,.,xn)具有二阶连续偏导数，xi*为xi的近似值，i=1,2,n，则,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念5.四则运算中的误差 设精确值x和y的近似值x*和y*，四则运算可以作为二元函数的特例，其误差估计为：,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念5.四则运算中的误差 设精确值x和y的近似值x*和y*，四则运算可以作为二元函数的特例，其误差估计为：(1)加减法：,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念5.四则运算中的误差 设精确值x和y的近似值x*和y*，四则运算可以作为二元函数的特例，其误差估计为：(2)乘法：,1.2 科学计算与误差,1.2.1 误差的基本概念5.四则运算中的误差 设精确值x和y的近似值x*和y*，四则运算可以作为二元函数的特例，其误差估计为：(3)除法：,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题 数值解区别于解析解的一个最明显的特点是其“近似性”。近似意味着每一个运算环节都可能产生误差，并且在整个计算过程的所有计算步骤上发生误差的对消、传递与累积，造成最终的计算结果有时非常复杂、以至难以预料,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题1.舍入误差的影响 舍入误差在实际计算中几乎是不可避免的，而舍入误差对计算结果的影响往往很大【例1-5】方程组 的解析解为(1,1,1)T，将系数矩阵舍入为3位有效数字，试计算其数值解,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题1.舍入误差的影响 舍入误差在实际计算中几乎是不可避免的，而舍入误差对计算结果的影响往往很大【例1-5】方程组 的解析解为(1,1,1)T，将系数矩阵舍入为3位有效数字，试计算其数值解,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题1.舍入误差的影响 舍入误差在实际计算中几乎是不可避免的，而舍入误差对计算结果的影响往往很大【例1-5】方程组的解析解为(1,1,1)T，将系数矩阵舍入为3位有效数字，试计算其数值解评注：原方程组的解为x=(1,1,1)T，当系数矩阵舍入为3位有效数字后，同样的计算过程，求得的解为x=(1.0895125,0.4879671,1.4910028)T，可见舍入误差对解的影响是巨大的,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性 定量地分析舍入误差的积累过程往往比较困难一个可行的方法是研究舍入误差是否能够得到有效的控制，而不会影响到计算结果的实际效用【定义1-4】如果一个算法的舍入误差在整个运算过程中能够得到有效的控制，或者其舍入误差的增长不影响产生可靠的结果，则称该算法为数值稳定的，否则称为数值不稳定的,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)分析：直接计算非常麻烦，由于改造为如下递推公式，得到数值算法：递推公式(A)：，需要计算的初始值为 递推公式(B)：，需要计算I15，由 或当n=15时，有0.022992465 I15 0.0625,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)分析：直接计算非常麻烦，由于改造为如下递推公式，得到数值算法：递推公式(A)：，需要计算的初始值为 递推公式(B)：，需要计算I15，当n=15时，有0.022992465 I15 0.0625,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)分析：直接计算非常麻烦，由于改造为如下递推公式，得到数值算法：递推公式(A)：，需要计算的初始值为 递推公式(B)：，需要计算I15当n=15时，有0.022992465 I15 0.0625取中值即得I15 0.042746233,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)分析：直接计算非常麻烦，由于改造为如下递推公式，得到数值算法：递推公式(A)：，初始值为 递推公式(B)：，I15 0.042746233,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)递推公式(A)：，初始值为I0 0.632120559 递推公式(B)：，I15 0.042746233新建一个Excel数据表，输入以下数据和公式：,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题2.算法的稳定性【例1-6】计算(n=1,2,15)递推公式(A)：，初始值为I0 0.632120559 递推公式(B)：，I15 0.042746233评注：实验表明，递推公式(A)得到的算法是不稳定的，而递推公式(B)得到的算法是稳定的,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题3.问题的病态性 不仅算法有“优”“劣”之分，问题本身也有“好”“坏”之别比如正切函数的计算：tan(1.5707963267)tan(1.5707963266)5130925713自变量x的微小扰动1010，引起函数值tan(x)的巨大变化,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题3.问题的病态性【例1-7】求解方程组：解得 若有小误差解得,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题3.问题的病态性评注：敏感依赖舍入误差的问题在科学计算中称为“病态问题”科学计算的大部分领域中，如线性方程组求解、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组的求解等等，都存在病态问题,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题3.问题的病态性评注：敏感依赖舍入误差的问题在科学计算中称为“病态问题”病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，一般要付出一些代价，如消耗更多的机时、占用更多的存储空间,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题4.浮点运算中的反常现象 浮点运算中的一些结果可能会颠覆我们熟知的算术运算定律(1)加法运算的结合律【例1-8】分别计算(a+b)+c和a+(b+c)，其中a=1015，b=3.888891015，c=1评注：结果显示(a+b)+c a+(b+c)，在浮点运算中，加法的结合律可能会失效,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题4.浮点运算中的反常现象(2)相近两数相减 一些情况下，两数相减的结果出人意料【例1-9】分别计算 和,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题4.浮点运算中的反常现象(2)相近两数相减评注：在浮点运算中，相近两数相减，将产生较大的误差，这是因为减法运算的相对误差会较大,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题4.浮点运算中的反常现象(3)连加的误差 进行连加计算时，和的相对误差的大小与各数参加运算的先后次序有关【例1-10】设有x1，x2，.，x9，试按照不同顺序求其部分和,1.2 科学计算与误差,1.2.2 误差的传播问题4.浮点运算中的反常现象(3)连加的误差【例1-10】设有x1，x2，.，x9，试按照不同顺序求其部分和评注：这里误差产生的部分原因还有减法的因素，但是主要是由于连加的顺序不当导致的 一般地,连加计算和的相对误差的大小与各数参加运算的先后次序有关,绝对值大的数在前面时,误差可能就大 因此，在处理多个数求和时，可以按照从小到大的顺序累加，使求和的误差减到最小,习题一,1.用Excel计算，(n=0，1，2，15)提示：直接计算非常麻烦，由于=ln101 ln100=ln1.01又因为 得递推关系：(不稳定)2.用Excel计算积分，n=0，1，2，.，10并讨论你的算法的稳定性，如果发现你的算法不稳定，应该如何修正？结果如何？,习题一,3.比较两种计算 在x=-5时的值的算法：(1)(2)观察N=10，15，20时的计算值，讨论两种算法结果的差异，分析原因 4.在Excel中观察当x=0.01、0.001、0.0001、0.00001时，函数 的近似值，要求有6位有效数字,习题一,5.将函数f(x)=1/x在点x=2处展开成泰勒级数，在Excel中 1)计算x=2.5时，3项级数、4项级数、.、n项级数的计算值；2)计算x=3时的计算值；3)讨论当x位于什么范围时，无穷级数收敛,