ACM课件(lecture04)递推求解.ppt
2023/11/7,1,ACM 程序设计,计算机学院 刘春英,2023/11/7,2,今天，,你 了吗？,AC,2023/11/7,3,每周一星（2）：,水域浪子,2023/11/7,4,第三讲 递 推 求 解,2023/11/7,5,先来看一个超级简单的例题:,有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？,如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。,2023/11/7,6,显然可以得到如下公式:,化简后的公式:F(n)=10+(n-1)*2,2023/11/7,7,再来一个简单题:,2023/11/7,8,再来一个简单题:,蟠桃记,2023/11/7,9,递推公式?,F(n)=(F(n-1)+1)*2,2023/11/7,10,Fibnacci 数列：,即：1、2、3、5、8、13、21、34,2023/11/7,11,思考:,递推公式的伟大意义？,有了公式，人工计算的方法？,常见的编程实现方法？（优缺点？）,2023/11/7,12,简单思考题:,在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。,2023/11/7,13,是不是这个,F(1)=2;F(n)=F(n-1)+n;,化简后：F(n)=n(n+1)/2+1;,2023/11/7,14,太简单了?,来个稍微麻烦一些的,2023/11/7,15,例:（2050）折线分割平面,问题描述：平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?样例输入12样例输出27,2023/11/7,16,思考2分钟:如何解决?,2023/11/7,17,结论:,Zn=2n(2n+1)/2+1-2n=2 n2 n+1,为什么?,2023/11/7,18,趁热打铁，,来个差不多的,2023/11/7,19,说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？说明1：“Z”的两端应看成射线说明2：“Z”的两条射线规定为平行的,附加思考题（还没加到OJ）：“佐罗”的烦恼,2023/11/7,20,总结：递推求解的基本方法：,首先确认，是否能很容易的得到简单情况的解,假设规模为N-1的情况已经得到解决,重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。,强调：1、编程中的空间换时间的思想2、并不一定是从N-1到N的分析,2023/11/7,21,问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。,思考题：平面分割方法,2023/11/7,22,F(1)=2F(n)=F(n-1)+2(n-1),2023/11/7,23,某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。,1465 不容易系列之一,2023/11/7,24,分析思路：,1、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装,3、后者简单，只能是没装错的那封信和第N封信交换信封，没装错的那封信可以是前面N-1封信中的任意一个，故=F(N-2)*(N-1),2、前者，对于每一种错装，可以从N-1封信中任意取一封和第 N封错装，故=F(N-1)*(N-1),2023/11/7,25,得到如下递推公式：,基本形式：d1=0;d2=1递归式：dn=(n-1)*(dn-1+dn-2),这就是著名的错排公式,2023/11/7,26,在2n的一个长方形方格中,用一个1 2的骨牌铺满方格,例如n=3时,为2 3方格，骨牌的铺放方案有三种(如图),输入n,输出铺放方案的总数,思考题（2046）：,2023/11/7,27,有1n的一个长方形，用11、12、13的骨牌铺满方格。例如当n=3时为13的方格，此时用11，12，13的骨牌铺满方格，共有四种铺法。如图,输入 n（0=n=30）;输出 铺法总数,再思考：,2023/11/7,28,仔细分析最后一个格的铺法,发现无非是用11,12,13三种铺法,很容易就可以得出：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3);其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,典型例题,最后一个思考题（有点难度）：,Childrens Queue,2023/11/7,30,用F(n)表示n个人的合法队列，作如下分析：,按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论：1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1);,2023/11/7,31,2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以分两种情况：2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2);2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).,2023/11/7,32,结论：,所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-4)(n3)然后就是对n=3 的一些特殊情况的处理了，显然：F(0)=1(没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样)F(1)=1F(2)=2F(3)=4,2023/11/7,33,有排成一行的个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色求全部的满足要求的涂法.,附加思考题：不容易系列之(3)LELE的RPG难题,2023/11/7,34,一把钥匙有N个槽，2N26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之差不得为5。求这样的钥匙的总数。本题无输入对2N26，输出满足要求的钥匙的总数。,附加思考题：1480_钥匙计数之二,2023/11/7,35,详见解题报告：,仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到n的推导过程。,2023/11/7,36,Any question?,2023/11/7,37,HDOJ作业：,1290 献给杭电五十周年校庆的礼物1297 Childrens Queue 1438 钥匙计数之一1465 不容易系列之一1466 计算直线的交点数 1480 钥匙计数之二2013 蟠桃记 2018 母牛的故事2041超级楼梯2042不容易系列之二20442050(10/5专题练习),2023/11/7,38,课后一定要练习！,2023/11/7,39,See you next week.,Thank you!,
