高等数学第十二章微分方程第九节常系数非齐次.ppt

,第十二章 微分方程,第九节,上页 下页 返回 结束,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,一般形式:,非齐次项,根据解的结构定理,方程,求特解的方法,1.根据 f(x)的特殊形式,的待定形式；,2.代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法：,上页 下页 返回 结束,的通解为,关键:求特解y*.,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)若 不是特征方程的根,则,从而得到特解,形式为,为已知 m 次多项式.,取Q(x)为 m 次待定系数多项式,上页 下页 返回 结束,(2)若 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)若 是特征方程的重根,是 m 次多项式,特解形式为,小结:,对于方程,即,即,设,特解,上页 下页 返回 结束,例1.,写出下列微分方程的特解形式:,不是特征方程的根,特解,形式为,上页 下页 返回 结束,(1),现在,(2),(3),是特征方程的单根,特解形式:,是特征方程的二重根,特解,形式:,例2.,的通解.,解 本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,上页 下页 返回 结束,例3.求解初值问题,解 本题,特征方程为,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,上页 下页 返回 结束,于是所求解为,解得,上页 下页 返回 结束,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,解题思路:,第一步 利用Euler公式,将 f(x)转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,上页 下页 返回 结束,第一步,利用Euler公式将 f(x)变形:,上页 下页 返回 结束,第二步 求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根(k=0,1),故,等式两边取复共轭:,为方程 的特解.,设,则 有,特解:,上页 下页 返回 结束,第三步 求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为 m 次多项式.,上页 下页 返回 结束,分析,因为,均为 m 次实,多项式.,本质上为实函数,上页 下页 返回 结束,小结:,对于非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k=0,1),上述结论也可推广到一般高阶方程情形.,上页 下页 返回 结束,若,例4.,的一个特解.,解 本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入原方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,上页 下页 返回 结束,例5.,的通解.,解,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入原方程,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,上页 下页 返回 结束,本节内容小结,若 为特征方程的 k(0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,上页 下页 返回 结束,若,思考与练习,时,可设特解为,时,可设特解为,提示:,1.(填空)设,上页 下页 返回 结束,2.求微分方程,的通解(其中,为实数).,解 特征方程,特征根:,对应齐次方程通解:,时,代入原方程得,原方程通解为,时,代入原方程得,原方程通解为,上页 下页 返回 结束,3.已知二阶常微分方程,有特解,求微分方程的通解.,解 将特解代入原方程,得恒等式,比较系数得,故原方程为,对应齐次方程通解:,原方程通解为,上页 下页 返回 结束,作 业,P290 50；51；52,上页 下页 返回 结束,