高数D33泰勒公式.ppt

二、几个初等函数的麦克劳林公式,第三节,一、泰勒公式的建立,应用,目的用多项式近似表示函数.,理论分析,近似计算,泰勒公式,第三章,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式:,需要解决的问题,如何提高精度?,如何估计误差?,x 的一次多项式,线性逼近优点:形式简单，计算方便；,一次（线性）逼近,利用微分近似计算公式,，对 附近的,的线性逼近为:,不足：离原点O越远，近似度越差.,y=1,y,x,1,-1,二次逼近,期望：,二次多项式 逼近,它要比线性逼近好得多，但局限于 内.,y=1,y,x,1,-1,八次逼近,八次多项式 逼近,令：,求出,比 在更大的范围内更接近余弦函数.,y=1,y,x,1,-1,1.试求一个关于xx0的n次多项式,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f(x).,要求：,需要解决两个问题:,2.误差 f(x)Pn(x)的表达式（误差估计）.,设f(x)在 的某邻域内有直到n+1阶导数.,1.求 n 次近似多项式,要求:,故,令,则,2.余项估计,令,(称为余项),则有,公式 称为 的 n 阶泰勒公式.,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项.,泰勒(Taylor)中值定理:,阶的导数,时,有,其中,则当,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.,在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为,注意到,特例:,(1)当 n=0 时,泰勒公式变为,(2)当 n=1 时,泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,称为麦克劳林(Maclaurin)公式.,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,其中,麦克劳林公式,麦克劳林公式,类似可得,其中,其中,麦克劳林公式,已知,其中,因此可得,麦克劳林公式,内容小结,1.泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式.,2.常用函数的麦克劳林公式(P142 P144),作业P145 4.,泰勒多项式逼近,泰勒多项式逼近,