高数上册D12数列的极限.ppt

高 等 数 学,第一章 函数与极限2 数列的极限,二、收敛数列的性质,三、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,数学语言描述:,一、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S.,如图所示,可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S(刘徽割圆术),当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项).,若数列,及常数 a 有下列关系:,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛,否则称数列发散.,几何解释:,即,或,则称该数列,的极限为 a,例如,趋势不定,收 敛,发 散,例1.已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,例2.已知,证明,证:,欲使,只要,即,取,则当,时,就有,故,故也可取,也可由,N 与 有关,但不唯一.,不一定取最小的 N.,说明:,取,例3.设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此,取,则当 n N 时,就有,故,的极限为 0.,二、收敛数列的性质,证:用反证法.,及,且,取,因,故存在 N1,从而,同理,因,故存在 N2,使当 n N2 时,有,1.收敛数列的极限唯一.,使当 n N1 时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当 n N 时,故假设不真!,满足的不等式,例4.证明数列,是发散的.,证:用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限 a 存在.,取,则存在 N,但因,交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当 n N 时,有,因此该数列发散.,2.收敛数列一定有界.,证:设,取,则,当,时,从而有,取,则有,由此证明收敛数列必有界.,说明:此性质反过来不一定成立.,例如,虽有界但不收敛.,有,数列,3.收敛数列的保号性.,若,且,时,有,证:,对 a 0,取,推论:,若数列从某项起,(用反证法证明),*,4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.,证:设数列,是数列,的任一子数列.,若,则,当,时,有,现取正整数 K,使,于是当,时,有,从而有,由此证明,*,三、极限存在准则,由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极,限,例如，,发散!,夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.,则原数列一定发散.,说明:,1.夹逼准则(准则1),证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,例5.证明,证:利用夹逼准则.,且,由,2.单调有界数列必有极限(准则2),例6.设,证明数列,极限存在.,证:利用二项式公式,有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e,e 为无理数,其值为,即,有极限.,又,*3.柯西极限存在准则(柯西审敛原理),数列,极限存在的充要条件是:,存在正整数 N,使当,时,证:“必要性”.,设,则,时,有,使当,因此,“充分性”证明从略.,有,内容小结,1.数列极限的“N”定义及应用,2.收敛数列的性质:,唯一性;有界性;保号性;,任一子数列收敛于同一极限,3.极限存在准则:,夹逼准则;单调有界准则;柯西准则,