高等数学方明亮版课件25函数的微分.ppt

2023年11月6日星期一,1,第五节 函数的微分,第二章,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,二、微分的几何意义,一、微分的定义,四、微分在近似计算中的应用,（Functions Differential）,五、本章小结与思考题,2023年11月6日星期一,2,一、微分的定义,引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少?,设薄片边长为 x,面积为 A,则,面积的增量为,关于x 的线性主部,故,当 x 在,取,变到,边长由,其,（Definition of Differentials）,2023年11月6日星期一,3,的微分,在点 的增量可表示为,(A 为不依赖于x 的常数),则称函数,而 称为,记作,即,定理 函数,在点 可微的充要条件是,即,在点,可微,定义 若函数,2023年11月6日星期一,4,证:“必要性”,已知,在点 可微,则,故,在点 的可导,且,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,定理 函数,2023年11月6日星期一,5,在点 可微的充要条件是,在点 处可导,且,即,“充分性”,已知,即,在点 的可导,则,定理 函数,2023年11月6日星期一,6,时,所以,时,很小时,有近似公式,与,是等价无穷小,当,故当,说明:,2023年11月6日星期一,7,二、微分的几何意义,切线纵坐标的增量,当 很小时,则有,从而,导数也叫作微商,自变量的微分,记作,记,2023年11月6日星期一,8,又如,例如,2023年11月6日星期一,9,三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则,1基本初等函数的微分公式,(参看课本表格),2函数和、差、积、商的微分法则,设 u(x),v(x)均可微,则,(C 为常数),2023年11月6日星期一,10,3复合函数的微分法则,分别可微,的微分为,微分形式不变性,则复合函数,解法1：,解法2：,利用“微分形式不变性”,2023年11月6日星期一,11,求,解:利用一阶微分形式不变性,有,例2 设,例3 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:,说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.,注意:数学中的反问题往往出现多值性.（点击看其他例子）,2023年11月6日星期一,12,数学中的反问题往往出现多值性,例如,2023年11月6日星期一,13,四、微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,2023年11月6日星期一,14,很小时,常用近似公式:,很小),证明:,令,得,特别当,2023年11月6日星期一,15,的近似值.,解:设,取,则,例4 求,2023年11月6日星期一,16,的近似值.,解:,例5 计算,2023年11月6日星期一,17,内容小结,1.微分概念,微分的定义及几何意义,可导,可微,2.微分运算法则,微分形式不变性:,(u 是自变量或中间变量),3.微分在近似计算中的应用,2023年11月6日星期一,18,课后练习,习题2-5 1；4（2）（4）（6）；5（2）（4）（6）；8（5）,思考与练习,1.,2023年11月6日星期一,19,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,