高等数学概率14条件概率与乘法法则.ppt
,第一章第四节 条件概率与乘法法则,在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。,一、条件概率,1.条件概率的概念,通常记事件B发生的条件下,事件A发生的概率为P(A|B)。,一般情况下，P(A|B)P(A)。,P(A)=1/6，,例如：掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。,于是，P(A|B)=1/3。,B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。,容易看到：,P(A|B),P(A)=3/10，,又如：10件产品中有7件正品，3件次品;7件正品中有3件一等品,4件二等品。现从这10件中任取一件，记,B=取到正品，,A=取到一等品，,P(A|B),P(A)=3/10，,B=取到正品，,P(A|B)=3/7。,本例中，计算P(A)时，依据前提条件是10件产品中一等品的比例。,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。,若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点,即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B就变成了新的样本空间,于是 就有(1)。,设A、B是两个事件，且P(B)0，则称(1),2.条件概率的定义,为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。,3.条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1.对任一事件A，0P(A|B)1;,2.P(|B)=1；,而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。,例如：对任意事件A1和A2,有 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-(A1A2|B)等。,其他性质请同学们自行写出。,2)从加入条件后改变了的情况去算,4.条件概率的计算,1)用定义计算:,P(B)0。,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1：掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1:,解法2:,解:设A=掷出点数之和不小于10，B=第一颗掷出6点。,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,例2:设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4。问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解:设A=能活20年以上,B=能活25年以，,依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4，,所求为P(B|A)。,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小。,P(A)与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同。,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率。,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则 P(AB)=P(B)P(A|B),(2),而 P(AB)=P(BA)，,二、乘法公式,在已知P(B),P(A|B)时,可反解出P(AB)。,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)。(3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A)，,(2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率。,例3:甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB)。,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产，,A=是标准件，,所求为P(AB)。,设B=零件是乙厂生产，,A=是标准件，,若改为“发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B)。,B发生,在P(AB)中作为结 果;在P(A|B)中作为条件。,当P(A1A2An-1)0时，有 P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)。,推广到多个事件的乘法公式:,解:,例 4:,一批灯泡共100只,其中10只是次品,其余为正品,作不放回抽取,每次取一只,求:第三次才取到正品的概率。,设Ai=第i次取到正品,i=1,2,3。A=第三次才取到正品。则:,解:,例5:,袋中有同型号小球b+r个，其中b个是黑球，r个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球c个。若B=第一，第三次取到红球,第二次取到黑球，求P(B)。,设Ai=第i次取到红球,i=1,2,3,则:,一场精彩的足球赛将要举行,但5个球迷只搞到一张球票，但大家都想去。没办法，只好用抽签的方法来确定球票的归属。,5张同样的卡片，只有一张上写有“球票”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取。,先抽的人比后抽的人抽到球票的机会大吗？,后抽的人比先抽的人吃亏吗？,请回答：,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大。”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。”,我们用Ai表示“第i个人抽到入场券”，i1,2,3,4,5。,显然，P(A1)=1/5，P()4/5，,第1个人抽到入场券的概率是1/5。,也就是说，,则 表示“第i个人未抽到入场券”，,因为若第2个人抽到 入场券时，第1个人 肯定没抽到。,也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未抽到，,由于,由乘法公式，得,计算得：P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5。,这就是有关抽签顺序问题的正确解答,同理，第3个人要抽到“入场券”，必须第1、第2个人都没有抽到。因此，,=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5，,继续做下去就会发现,每个人抽到“入场券”的概率都是1/5。,抽签不必争先恐后。,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥,乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0,三、全概率公式和贝叶斯公式,例6:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率。,解：记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球。,即 B=A1B+A2B+A3B，且 A1B、A2B、A3B两两互斥。,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),运用加法公式得,1,2,3,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式。,对求和中的每一项 运用乘法公式得,P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15。,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B,它总是与A1,A2,An之一同时发生，则,全概率公式:,设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i=1,2,n,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组。,则对任一事件B，有,在一些教科书中，常将全概率公式叙述为：,在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个 容易计算。可用所有 之和计算P(B)。,由上式不难看出:,“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率 之和。,它的理论和实用意义在于:,某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是,每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。,P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai),全概率公式。,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系。,诸Ai是原因 B是结果,例 7:甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率。,设B=飞机被击落，Ai=飞机被i人击中,i=1,2,3。,由全概率公式，得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),则 B=A1B+A2B+A3B，,解:,可求得,为求P(Ai),设 Hi=飞机被第i人击中,i=1,2,3。,将数据代入计算，得 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14。,于是，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),=0.458，,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458。,该球取自哪号箱的可能性大些?,实际中还有下面一类问题已知结果求原因,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。,某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率。,或者问:,接下来我们介绍解决这类问题的,贝叶斯公式,有三个箱子，编号分别为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率。,1,1红4白,某人从任一箱中任意摸出 一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率。,记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3;B=取得红球。,求P(A1|B)。,运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出。它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式：,设A1,A2,An是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1,2,n,另有一事件B，它总是与A1,A2,An 之一同时发生，则,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例 8:某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求P(C|A)。,已知:P(C)=0.005,P(A|C)=0.95,现在来分析一下结果的意义,由贝叶斯公式，得,代入数据，计算得 P(CA)=0.1066。,2.检出阳性是否一定患有癌症?,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率 P(C)=0.005。,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为 P(CA)=0.1066。,说明这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义。,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍。,1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？,2.检出阳性是否一定患有癌症?,试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066。,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66%(平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai|B)分别称为 原因的先验概率和后验概率。,P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计。,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为0.8;用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击,结果中靶。求:所用的枪是校准过的概率。,设A=射击时中靶,B1=使用的枪校准过,B2=使用的枪未校准,则B1,B2是一个划分,由贝叶斯公式,解:,例9：,解:,例 10:,一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%,2%和1%。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产的概率各为多少?,设A=螺钉是次品,B1=螺钉由1号机器生产,B2=螺钉由2号机器生产,B3=螺钉由3号机器生产。则:,由贝叶斯公式，得,同理,P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。,小结,本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式理论意义、实际意义及应用范围。但这还远远不够，为达到正确理解、熟练运用这些公式的目的，我们还需要做一定数量的习题，并从中揣摩出这些公式的内涵。,
