高等数学方明亮44几种特殊类型函数的积分.ppt

2023年11月6日星期一,1,第四节 几种特殊类型函数的积分,第四章,基本积分法:直接积分法;,换元积分法;,分部积分法,初等函数,初等函数,（见本节第一段）,一、有理函数的积分,二、可化为有理函数的积分举例,本节内容:,（Integration of several kinds of Special Functions）,2023年11月6日星期一,2,一、有理函数的积分,(Integration of Rational Function),两个多项式的商表示的函数.,有理函数的定义：,2023年11月6日星期一,3,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,有理函数有以下性质：1）利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.,例如，我们可将,化为多项式与真分式之和,2023年11月6日星期一,4,2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和,最简分式是下面两种形式的分式,2023年11月6日星期一,5,（1）分母中若有因式，则分解后为,3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：,2023年11月6日星期一,6,为了便于求积分，必须把真分式化为部分分式之和，同时要把上面的待定的常数确定，这种方法叫待定系数法,例1,2023年11月6日星期一,7,例2,通分以后比较分子得：,2023年11月6日星期一,8,我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到,2023年11月6日星期一,9,例3,整理得,2023年11月6日星期一,10,例4 求积分,解：,例2,2023年11月6日星期一,11,例5 求积分,解：,例3,2023年11月6日星期一,12,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例6,并利用 第三节 例9.,例6 求,2023年11月6日星期一,13,注意：,有理函数的积分就是对下列三类函数的积分：,多项式；,主要讨论（3）积分,2023年11月6日星期一,14,其中,并记,令,2023年11月6日星期一,15,第三节 例9,结论：,有理函数的原函数都是初等函数.,2023年11月6日星期一,16,解:,说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求,简便的方法.,例7（补充题）求,2023年11月6日星期一,17,解:原式,注意本题技巧,按常规方法较繁,例8（补充题）求,点击看“常规解法”,2023年11月6日星期一,18,第一步 令,比较系数定 a,b,c,d.得,第二步 化为部分分式.即令,比较系数定 A,B,C,D.,第三步 分项积分.,此解法较繁!,按常规方法解:,2023年11月6日星期一,19,二、可化为有理函数的积分举例,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t 的有理函数的积分,1.三角函数有理式的积分,则,2023年11月6日星期一,20,2023年11月6日星期一,21,2023年11月6日星期一,22,例9（课本例5）求,解：令,则,2023年11月6日星期一,23,例10（补充题）求,解：,一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。,由此可以看出，万能代换法不是最简方法，能不用尽量不用。,2023年11月6日星期一,24,解:,说明:通常求含,的积分时,往往更方便.,的有理式,用代换,例11（1987.III)求,2023年11月6日星期一,25,令,令,被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换,化为有理函数的积分.,例如:,令,2.简单无理函数的积分,2023年11月6日星期一,26,解:令,则,原式,例12（课本 例7）求,2023年11月6日星期一,27,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,例13 求,（自学课本 例8）,2023年11月6日星期一,28,解:令,则,原式,例14 求,（自学课本 例9）,2023年11月6日星期一,29,本节小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定,要注意综合使用基本积分法,简便计算.,简便,2023年11月6日星期一,30,课后练习,习题4-4 奇数题,思考与练习,1.如何求下列积分更简便?,解:（1）,（2）原式,2023年11月6日星期一,31,解法 1,令,原式,2.求,2023年11月6日星期一,32,解法 2,令,原式,2.求,2023年11月6日星期一,33,解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令,原式,3.求,