高等数学微积分第三章第9节.ppt
第九节 定积分的物理应用举例,一、变力沿直线所作的功,二、水压力,三、引力,一、变力沿直线所作的功,由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W=Fs,如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而要采用“元素法”的思想解决.,设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 x=a 移动到 x=b,力的方向与运动方向平行,求 变力 F 所做的功.,在其上所作的功元素为,因此变力F(x)在区间 a,b上所作的功,例1 在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到 b 处(a b),求电场力所作的功.,解,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律知电场力为,任取小区间r,r+dr,取 r 为积分变量，,则功的元素为,所求功为,解,如图建立坐标系,例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？,任取一小区间x,x+dx,取x为积分变量，,这一薄层水的重力为,功元素为,(千焦),设水的密度为,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第n次锤击时又将铁钉击入多少？,设 n 次击入的总深度为 h 厘米,n 次锤击所作的总功为,依题意有：,n 次击入的总深度为,第 n 次击入的深度为,例4 已知一弹簧自然长为 0.6m，10N 的力使它伸长到 1m，求使弹簧从 0.9m 伸长到 1.1m外力所做的功 W.,解,弹簧力为,故弹簧从 0.9m 伸长到 1.1m外力所做的功为,二、水压力,由物理学知道，在水深为 h 处的压强为 p=g h,这里 是水的密度如果有一面积为 A 的平板水平地放置在水深为 h 处，那么平板一侧所受的水静压力为 F=pA=g h A,如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而要采用“元素法”的思想解决,解,如图建立坐标系，,面积元素,例1 将直角边各 为 2a 及a 的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力,侧压力元素为,设水的密度为,则,解,在端面如图建立坐标系,例2 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为 R，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压力,面积元素,侧压力元素为,设水的密度为,则,端面上所受的压力为：,说明,当桶内充满水时,小矩形片上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,三、引力,如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，就不能用此公式计算,而要采用“元素法”的思想解决,解,如图建立坐标系,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,例 1 有一长度为 l、线密度为 的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点 M，计算该棒对质点 M 的引力,小段与质点的距离为,引力元素,水平方向的分力元素,由对称性知，引力在铅直方向分力为,故棒对质点的引力大小为,例 2 设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,在其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,试计算该棒对质点的引力.,解 如图建立坐标系.,细棒上小段,对质点的引力元素为,故垂直分力元素为,由对称性知，棒对质点引力的水平分力,故棒对质点的引力大小为,棒对质点的引力的垂直分力为,练习：长为 l 线密度为 的均匀细棒，在离端点为 a 处有一质量为 m 的质点，求细棒对质点的引力。,利用“元素法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,四、小结,注意,1.从实际情况出发建立恰当的坐标系对于物理量的计算是至关重要的.,且在建立坐标系时,必需明确指明原点位置和坐标轴的正向.,2.计算时对同类量要采用统一的单位.,思考与练习,提示:作 x 轴如图.,1、为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30 m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问：克服重力需作多少焦耳(J)功?,将抓起污泥的抓斗由,x 提升 dx 所作的功为,提升抓斗中的污泥:,井深 30 m,抓斗自重 400 N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重 2000N,提升速度为3ms,污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉,克服缆绳重:,抓斗升至 x 处所需时间:,克服抓斗自重:,2、斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于水中,并使一直角边与水面相齐,问斜边与水面交成的锐角 取多大时,薄板所受的压力 F 最大.,解 如图建立坐标系.,设斜边长为 l,则其方程为,故得唯一驻点,故此唯一驻点,即为所求.,由实际意义可知最大值存在,即,3、一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？,解,该球面所受的总压力方向向上(下半球面所受的压力大于上半球面)，其值为该球排开水的 重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关,练 习 题,练习题答案,
