高等数学同济版高阶线性微分方程.ppt

高阶线性微分方程,第六节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,一、高阶线性微分方程的形式,n 阶线性微分方程的一般形式为,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,一、高阶线性微分方程的形式,为二阶线性微分方程.,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上线性相关,在任何区间 I 上线性无关.,若存在不全为 0 的常数,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,推论.,是 n 阶齐次方程,的 n 个线性无关解,则方程的通解为,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,请写出方程通解.,设线性无关函数,都是二阶非齐次线性,方程,的解,例1.,例2.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,有三,作业 P 331 4(2),(5),