高三数学导数的背景曲线在某点处的切线、瞬时速度.ppt

引入:,一、切线问题：,（1）对于简单的曲线，如圆和圆锥曲线，它们的切线是如何定义的？,（2）与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线？,（3）曲线的切线与直线是否只有一个交点？,二、最值问题：,求函数y=x3-2x-1，x-1，1的最大值和最小值。,更多资源,第三章 导数,曲线的切线,一.曲线的切线,如图，曲线C是函数y=f(x)的图象，P(x0,y0)是曲线C上的任意一点，Q(x0+x,y0+y)为P邻近一点，PQ为C的割线，,PM/x轴,QM/y轴，为PQ的倾斜角.,P,Q,割线,切线,T,请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即x0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;切线斜率的本质函数平均变化率的极限.,注：（1）切线是割线的极限位置，切线的斜率是一个 极限（2）若割线在P点有极限位置，则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;（3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.,（3）曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗？,例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.,求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：,（1）求y；,求曲线在某点处的切线方程：先利用切线的斜率，然后利用点斜式求切线方程.,练习:如图,已知曲线,求:(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物 体在t到t+t这段时间内的平均速度为,二、瞬时速度：,平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.,物体在时刻t的瞬时速度，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时的平均速度的极限；,例3:物体作自由落体运动,运动方程为：g=10m/s2，位移单位是m，时间单位是s，.求：,(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度；(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).当时间间隔t 逐渐变小时,平均速度就越接近t0=2(s)时的瞬时速度v=20(m/s).,练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6，求t=1时刻的瞬时速度.,求瞬时速度一般可以分为三步：,（1）求s；,（1）能从极限的角度理解曲线在点P处切线的定义；,小结：,能求曲线在点P处切线的斜率及方程；,（2）能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度,能求某时刻的瞬时速度,更多资源,备用:已知曲线 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.,故过点P的切线方程为:y-2=1(x-1),即y=x+1.,练习:求曲线 上一点P(1,-1)处的切线方程.,答案:y=3x-4.,