非齐次线性方程组有解的条件.ppt

3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构,设有非齐次线性方程组,若记,（1）,一.非齐次线性方程组有解的条件,则上述方程组（1）可写成矩阵形式,(2),若令,则有,(3),非齐次组的向量形式,(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式,非齐次组的一般形式,非齐次组的矩阵形式,.,定理3.15,非齐次线性方程组(2)有解,非齐次线性方程组有解,线性表示,于是有下面的定理,因此,可由,以下讨论,非齐次线性方程组(1)解的情况.,.,最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设,对增广矩阵,做初等行变换,.,其相应的同解的阶梯形方程组为,（2）,r 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数.,.,讨论方程组（1）的解的情况：,则方程组（1）无解.,则方程组（1）有唯一解.,则方程组(1)有无穷多解.,推论,.,矩阵形式,二、非齐次线性方程组解的结构,取b=0，得到的齐次线性方程组,称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组.,.,方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：,这是因为,若,的两个解,但,的解.,这是因为,定理3.16,若,的两个解,则,的解.,这是因为,若,的一个解,的解.,定理3.17,则,的解.,注意,.,求解关键：,1、方程组（1）的一个特解；,2、导出组（2）的一个基础解系.,(也称,有解,的一个特解(某一个解);而,定理3.17-2,其中,进一步地有:,的导出组),若,则其一般解为,的一般解.,.,求非齐次线性方程组的步骤：,2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替自由未知量，求出一个特解,3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个基础解系:,4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：,数.,.,试求,例1 设非齐次线性方程组,的一般解.,解,的增广矩阵,变换,.,取自由未知量,并取值,代入,求得,的一个特解.,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),取自由未知量,的3组值,代入,求得,的基础解系.,(不要代入,.,的一般解为,于是,为任意常数,.,【例】,.,得,【解】,.,=,可得一般解,或 给,取值.,取值.,代入原方程组得特解,取值.,代入原方程组导出组,得到基础解系,所以一般解为,.,的基础解系有4-2个解组成,矩阵,的一个解.,例4 设A是,是对应齐次组,与,的两个解.,解,是线性方程组,试求Ax=b的一般解.,构成一个基础解系,是对应齐次组,的两个线性无关解.,所以,的一般解为,为任意常数,.,