非线方程组的数值解法.ppt

6.4 非线性方程组的数值解法,非线性方程组的Newton法,6.4.2 非线性方程组的Newton法,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,1.2,学习目标：,设含有n个未知数的n个方程的非线性方程组为(6,4,1)其中 为n维列向量，,6.4.1 非线性方程组的不动点迭代法,中至少有一个是x的非线性函数，并假设自变量和函数值都是实数。多元非线性方程组(6.4.1)与一元非线性方程f(x)=0具有相同的形式，可以与一元非线性方程并行地讨论它的迭代解法。例如不动点迭代法和Newton型迭代法。但是，这里某些定理的证明较为复杂，我们将略去其证明。,把它写成等价形式,函数也称映射，若函数 的定义域为，则可用映射符号 简便地表示为。为了讨论不动点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性和压缩性。,定理6.7（Brouwer不动点定理）若 在有界凸集 上连续并且映内，则 在内 存在不动点。,定理6.8（压缩映射定理）设函数 在闭集 上是映内的，并且对某一种范数是压缩的，压缩系数为L，则（1）在 上存在唯一的不动点。（2）对任何初值 迭代法（6.4.3）生成的序列 且收敛到，并且有误差估计式,证：首先容易算出，对于任何，都有 因此，迭代函数 在 上是映内的。进而，对于任何都有,定义6.4 设 为 的不动点，若存在 的一个领域，对一切，由（6.4.3）式产生的序列 且，则称 具有局部收敛性。,得知，从而有。于是，由定义6.4知迭代法（6.4.3）在点 处局部收敛。定理得证。与单个方程的情形类似，有时可以用关于导数的条件代替压缩条件来判别收敛性,定理6.10 设，在D内有一不动点，且 在 处可导，且谱半径，则迭代法（6.4.3）在点 处局部收敛，其中，函数 的导数为Jacobi矩阵（见*式）利用谱半径与范数的关系，我们可用 代替定理6.10中的条件,（*）,例如，对于例6.11有对于例6.12所取的区域 的不动点 在它的内部。容易验 证，在 上有，因此，迭代法（6.4.5）在点 处局部收敛。,对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代法。设 是方程组（6.4.1）的解，是方程组的一个近似解。用点 处的一阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值，有,6.4.2 非线性方程组的Newton法,例6.13 用Newton法解例6.11的方程组（6.4.4）解 对该方程组有取初始向量，解方程组，即,关于Newton法的收敛性，有下面的局部收敛性定理,定理6.11 设，满足。若有 的开邻域，在其上连续，可逆，则,其中的参数 称为阻尼因子，称为阻尼项，解出 后，令。加进阻尼项的目的，是使线性方程的系数矩阵非奇异并良态。当 选的很合适时，阻尼Newton法时线性收敛的。,非线性方程组的Newton法,