概率论与数理统计第五章习题课.ppt

概率论与数理统计,第五章习题课,大数定律,一、主要内容,中心极限定理,切比雪夫定理特殊情况,伯努利大数定理,辛钦大数定理,依概率收敛,林德伯格-勒维定理,棣莫弗-拉普拉斯定理,二、重点与难点,1.重点,中心极限定理及其运用.,2.难点,证明随机变量服从大数定律.,中心极限定理的应用.,切比雪夫定理的特殊情况,定理一的另一种形式(依概率收敛),伯努利大数定理,辛钦大数定理,独立同分布的中心极限定理,棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,设某单位有200台电话机，每台电话机大约有5的时间要使用外线通话，若每台电话机是否使用外线通话是相互独立的，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用。,设X表示200台电话机中同时需要使用外线通话的电话机数，则Xb(200,0.05)，并设安装了k条外线，依题意为求 PXk0.9 成立的最小正整数。,根据中心极限定理有,三、典型例题,例1,解:,查表得,故该单位至少需要安装14条外线才能以90以上的概率保证每一台电话机需要使用外线时不被占用。,现有一批种子,其中良种占1/6.今任取6000粒,问能以0.99的概率保证在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差不超过多少?相应的良种粒数在哪个范围内?,例2,解:,由德莫佛-拉普拉斯定理:,故近似地有:,良种粒数X的范围为:,第四章 大数定律和中心极限定理,例3,独立同分布,解:,由辛钦大数定律(取=1)有:,又显然有:,对足够多的选民进行民意调查，以确定某一候选人的支持率。假定选民中有未知的百分数P支持他，并且他们彼此是独立行动的。问：为了有95的信度预测P的值在4.5的误差幅度内，应至少调查多少人？,例4,解:,炮火轰击敌方防御工事 100 次,每次轰击命中的炮弹数服从同一分布,其数学期望为 2,均方差为1.5.若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100 次轰击,(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.,例5,解:,设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,相互独立，,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理,有,(1),(2),售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X 是出售了100份报时过路人的数目，求 P(280 X 320).,令Xi 为售出了第 i 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数,i=1,2,100,(几何分布),例6,解:,相互独立,由独立同分布中心极限定理,有,检验员逐个检查某产品,每查一个需用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.若产品需重复检查的概率为 0.5,求检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个的概率.,若在 8 小时内检查的产品多于1900个,即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.,设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒),设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,1900,例7,解:,0.5 0.5,相互独立同分布,