高等数学第十章第4节对面积的曲面积分.ppt

,2,第四节 对面积的曲面积分,求质量 m.,引例:设曲面形构件具有连续面密度,采用“分割,近似,求和,取极限”的方法，,可得,一.对面积的曲面积分的概念与性质,3,定义:,设 为光滑曲面,f(x,y,z)是定义在 上的一个,有界函数,若对 做任意分割和局部区域上任意取点,“乘积和式极限”,都存在,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积的,曲面积分或第一类曲面积分.,记作,其中 f(x,y,z)叫做被积函数,叫做积分曲面.,据此定义,曲面形构件的质量为,曲面面积为,4,如果 f(x,y,z)在光滑曲面 上连续,则对面积的曲面,积分存在.,如果 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面,则有,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分有类似的性质.,（k 为常数),5,定理:设光滑曲面 由方程 z=z(x,y),在 xoy 面上的投影区域为,f(x,y,z)在 上连续,存在,且有,二.对面积的曲面积分的计算法,给出,则曲面积分,证明:由定义知,而,6,7,计算公式:,则,8,则,则,9,例1,解,10,11,解,依对称性知：,12,13,14,例3,15,解,16,（左右两片投影相同）,17,18,例4,解,19,20,例5.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,解:,将 分成、,21,例5.计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,另解:取曲面面积元素,则,22,例6.计算,其中 是球面,解:利用对称性可知,球心：,半径：,23,四、小结,2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.,1、对面积的曲面积分的概念;,（按照曲面的不同情况分为三种）,24,25,思考题,在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中,有因子,试说明这个因子的几何意义.,26,思考题解答,是曲面元的面积,故 是曲面法线与 轴夹角的余弦的倒数.,27,练 习 题,28,29,练习题答案,