高等数学第十二章微分方程.ppt

第十二章 微 分 方 程,高阶微分方程,一、可降阶的高阶微分方程,1高阶微分方程的定义,2可降阶的高阶微分方程类型,(1),(2),(3),3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图,可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解。解题方法流程图如下图所示。,解题方法流程图,逐次积分,解一阶微分方程,解一阶微分方程,Yes,No,二、二阶常系数线性微分方程,1定义,(1)二阶常系数线性齐次微分方程：,(2)二阶常系数线性非齐次微分方程:,2解的结构性质,3.齐次方程的解题方法,2）求齐次线性方程的通解,1）写出特征方程,并求特征根；,4.非齐次方程的特解,(1)若,设特解为,不是特征方程的根,是特征方程的单根,是特征方程的重根,设特解为,(2)若,不是特征方程的根,是特征方程的根,5.非齐次方程的解题方法,求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步：,2）求对应的齐次线性方程的通解,4）写出原方程的通解。,解题方法流程图如下图所示。,1）写出特征方程,并求特征根；,解题方法流程图,求 通解,【例1】求方程 的通解。,解：由于不显含，令，则,代入原方程整理得,即,因此,再积分一次，即得原方程的通解为：,此解可以写成,代入原方程整理得,即,为一阶线性微分方程,利用公式得,即,积分得,代入原方程整理得,分离变量得：,积分得：,所以,即,，从而,分离变量得：,所求方程的特解为：,分析：由二阶线性非齐次微分方程解的结构，先求出,对应齐次方程，从而得出通解及方程的表达式。,，特征方程为,对应齐次方程为：,对应齐次方程通解为：,所求的方程为：,通解为：,分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结,构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解.,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,由于 是 型(其中)，且,不是特征方程根，所以应设特解,得非齐次方程的通解为,解得,所求的特解为,解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，,它的特征方程为,解得两个不同的实根,故齐次方程的通解为,由于 是 型,（其中）,解之，得,由此求得一个特解为,比较等式两边的系数，得,求出 把它们代入原方程，得,故齐次方程的通解为,（其中,代入原方程，解之得,故特解为,于是所求通解为,故齐次方程的通解为,属于混合型，令,不是特征方程根，故可设,所以,得,是特征方程根，故可设,求,于是原方程的通解为,可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为,即,亦即,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分,上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。,即,为二阶线性非齐次微分方程，且,可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为,