高等数学第七章第五部分.ppt

,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的点向式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,空间直线及其方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,如果一非零向量平行于一条已知直线,二、空间直线的点向式方程与参数方程,1.点向式方程,直线的点向式方程,直线的对称式方程,这个向量称为这条直线的方向向量,直线的点向式方程,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,直线方程为,例如,当,直线的对称式方程,直线方程为,当,方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,令,2.参数式方程,思考：给定直线的一般式方程怎么确定其方向向量？,例1.用对称式及参数式表示直线,解:先在直线上找一点.,再求直线的方向向量,令 x=0,解方程组,得,交已知直线的两平面的法向量为,是直线上一点.,故所给直线的对称式方程为,参数式方程为,解题思路:,先找直线上一点;,再找直线的方向向量.,解二,分别消去y和x,写成连等式，得点向式方程,点向式方程一般式方程,一般式方程点向式方程,三、两直线的夹角,则两直线夹角 满足,设直线,两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角),的方向向量分别为,两直线的夹角公式,两直线的位置关系：,直线,直线,例如，,例2.求以下两直线的夹角,解:直线,直线,的方向向量为,的方向向量为,二直线夹角 的余弦为,从而,四、直线与平面的夹角,当直线与平面垂直时,规定其夹角,线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;,当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直,或,设直线 L 的方向向量为,平面 的法向量为,则直线与平面夹角 满足,或,直线与平面的位置关系：,解:取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,垂直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,例3.求过点(1,2,4)且与平面,解,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,例5,求直线,与平面,的交点,解:,所给直线的参数方程为,代入平面方程中，得,解上列方程，得t=-1.把求得的 t 值代入直线,的参数方程中，即得所求交点是坐标为,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,L,M,N.,代入平面方程得,交点,所求直线的方向向量平行于,所求直线方程为,取,L,M,N.,另解,L,M,L,再求过M与L的平面,设直线L由方程组,所确定，其中系数,不成比例，我们建立三元一次方程组：,其中 为任意常数。通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程就作为通过直线L的平面束的方程。,例7,求直线,在平面,上的投影直线的的方程,解,设过直线,的平面束的方程为,即,其中,为待定常数。这平面与平面,垂直的条件是,即,得投影平面的方程为,所以投影直线的方程为,1.空间直线方程,一般式,对称式,内容小结,参数式,直线,2.线与线的关系,直线,夹角公式:,平面:,L,3.面与线间的关系,直线 L:,L/,夹角公式：,