高等数学方明亮版课件13函数的极限.ppt

2023年11月6日星期一,1,第三节 函数的极限,(Limits of Functions),第一章,在前一节我们讨论了数列的极限，,本节主要介绍一般函数的极限以及其性质,二、函数极限的性质,一、函数极限的定义,2023年11月6日星期一,2,一、函数极限的定义,2023年11月6日星期一,3,1.自变量趋于无穷大时函数的极限,(Limits Involving Infinity),2023年11月6日星期一,4,2023年11月6日星期一,5,定义1可简单地表达为：,几何解释:,补充定义,直线 y=A 为曲线,的水平渐近线,2023年11月6日星期一,6,直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.,当,时,有,当,时,有,几何意义:,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,两种特殊情况:,2023年11月6日星期一,7,证:,例1 证明,取,因此,就有,故,欲使,即,注:,是,的水平渐近线.,2023年11月6日星期一,8,2.自变量趋于有限值时函数的极限.,(Limits Involving Finites),2023年11月6日星期一,9,（1）双侧极限(Two-sided Limits),2023年11月6日星期一,10,当,时,有,2023年11月6日星期一,11,2023年11月6日星期一,12,例2 证明,证:,欲使,只要,取,则当,时,必有,因此,2023年11月6日星期一,13,证:,例3 证明,函数在点x=3处没有定义.,故,取,当,时,必有,因此,2023年11月6日星期一,14,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证.,必有,例4 证明:当,2023年11月6日星期一,15,（2）单侧极限(One-sided Limits),左极限(Left Limits):,当,时,有,右极限(Right Limits):,当,时,有,定理 1,2023年11月6日星期一,16,证：,利用定理1，知,2023年11月6日星期一,17,讨论,时,的极限是否存在.,解:利用定理1.,因为,显然,所以,不存在.,例6（补充题）设函数,2023年11月6日星期一,18,二、函数极限的性质,定理2(函数极限的唯一性）,定理3(函数极限的局部有界性),证：,2023年11月6日星期一,19,若,且 A 0,证:已知,即,当,时,有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,(0),则存在,(A 0),定理4（函数极限的局部保号性）,2023年11月6日星期一,20,若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时,有,（书中定理5）,分析:,推论1,2023年11月6日星期一,21,证:用反证法.,则由定理 1,的某去心邻域,使在该邻域内,与已知,所以假设不真,(同样可证,的情形),存在,假设 A 0,条件矛盾,故,2023年11月6日星期一,22,定理5 海因定理（函数极限与数列极限的关系),条件：,（1）,（2）,结论：,（1）,（2）,2023年11月6日星期一,23,内容小结,1.函数极限的,或,定义及应用,2.函数极限的性质:,与左右极限等价定理；,Th1,唯一性定理；,Th2,局部有界性；,Th3,函数极限的局部保号性；,Th4,海因定理（函数极限与数列极限的关系),Th5,2023年11月6日星期一,24,课后练习,习 题 1-3 1 5 6,思考与练习,1.若极限,存在,例3,是否一定有,？,不能保证,例,有,2023年11月6日星期一,25,解：,4.设函数,且,存在,则,