高等数学微积分第4章第1节中值定理.ppt
第四章 中值定理与导数应用,第四章 中值定理与导数应用,第一节 中值定理第二节 未定式的定值法罗必塔法则第三节 函数的增减性判别法第四节 函数的极值与最值第五节 曲线的凹凸性、拐点与渐近线第六节 函数图形的讨论,1.理解罗尔定理和拉格朗日中值定理,掌握这两个定理的简单应用;,2.会用洛必塔法则求极限;,3.掌握函数单调性的判别方法及其应用,4.掌握函数极值、最大值和最小值的求法,会求解较简单的应用题;,6.会描绘简单函数的图形.,5.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点及渐进线,本,章,基,本,要,求,本章重点、难点,重点：导数的应用、带 等式的证明.,难点：带 等式的证明.,第一节 中值定理,(罗尔中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,在区间两个端点处的函数值,上连续;,内可导;,相等,即,则至少存在一点,使得,定理4.1,证,因,在,上连续,故,在,上一定有最大值,和最小值,则,从而,所以对于,内任一点都可取作,故命题成立.,则在,内至少存在一点,使得,下证,故,几何意义,注,三个条件缺一不可.,。,(1),(4),(3),(2),例1,验证函数,在区间,上满足罗尔定理全部条件,并求,解,在闭区间,在开区间,在区间两个端点处的函数值相等,上连续,内可导,故至少存在一点,使得,即,故,题型一 验证罗尔定理成立,(?),(?),(?),判断连续性,二.分段函数,分界点用定义判断,一.初等函数,判断可导性,(1)导数的性质,(2)导函数有定义,二.分段函数,分界点用定义判断,一.初等函数,有定义区间上连续,例2,证明方程,至多有一个实根,其中,为任意常数.,证,假设方程至少有两个不同的实根,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,设,即,矛盾,故命题成立.,题型二 判断方程的根,例3,不求导数,判断函数,的导函数有几个实根,以及所在的范围.,解,在,满足罗尔定理条件,因此至少存在,使得,又,为三次函数,则,为二次函数,故,在,和,内各有一个实根.,有且仅有两个实根,题型三 证明带,的等式,例4,设,在,在,上连续,内可导,则在,内至少存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,故,例5,设,在,在,上连续,内可导,且,试证:,在,存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,内至少,故,(拉格朗日中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,上连续;,内可导,则至少存在一点,使得,证,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,定理4.2,从而原式成立.,几何意义,等价形式,定理形式,分析课本中辅助函数的令法.,令,直线AB,曲线AB,思路:,切线,直线AB,切线斜率=直线斜率,切线斜率=直线的切线斜率,故选,推论1,如果函数,在区间,内任一点,的导数,都等于零,则函数,在,内,是一个常数.,证,任取,在,上满足拉格朗日定理条件,因此至少存在一点,使得,所以,故命题成立.,推论2,如果函数,在区间,都相等,则,在,内至多相差一个常数.,内,任一点的导数,与,证,因,所以,即,由推论1知,故命题成立.,题型一 验证拉格朗日定理成立,题型二 证明不等式,例5,证明不等式,证,时,不等式显然成立.,时,在,上满足拉格朗日条件,因此至少存在一点,使得,故,例6,试证,证,不妨设,在,上满足拉格朗日定理,所以,至少存在一个,使得,即,故,同理可证,题型三 证明带,的等式,例7,设,在,在,上连续,内可导,则在,内至少存在一点,使得,证,设,显然,满足拉格朗日定理条件,因此至少存在一点,使得,从而原式成立.,例8,试证明,证,因,题型四 证常数,所以,且,在,上连续,则,令,得,题型一 验证拉格朗日定理成立,题型二 证明不等式,题型四 证常数,题型三 证明带,的等式,题型一 验证罗尔定理成立,题型二 判断方程的根,题型三 证明带,的等式,罗尔定理,总结,拉格朗日定理,(柯西中值定理),设函数,满足下面条件:,在闭区间,在开区间,上连续;,内可导;,当,时,则至少存在一点,使得,定理4.3,误证,用拉格朗日定理,相除即可.,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,亦,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,亦,证明,设,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此至少存在一点,使得,即,从而,辅助函数:,题型二 证明带,的等式,题型一 验证柯西定理成立,题型三 双介值问题,例9,设,在,上可导,且,试证:,在,内至少存在一点,使得,证明,设,则,在,上满足柯西定理条件,因此至少存在一点,使得,从而原式成立.,双介值问题,例10,设,在,在,上连续,内可导,试证,存在,使得,且,证,用拉格朗日定理,和,用柯西定理,相除即可.,双介值问题处理思路:,(1),将,和,分开,(2),涉及一个函数导数用拉格朗日定理,涉及两个函数导数的商用柯西定理,(3),拉+拉,柯+柯,柯+拉,题型二 证明带,的等式,题型一 验证柯西定理成立,题型三 双介值问题,题型一 验证拉格朗日定理成立,题型二 证明不等式,题型四 证常数,题型三 证明带,的等式,题型一 验证罗尔定理成立,题型二 判断方程的根,题型三 证明带,的等式,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,题型五 双介值问题,总结,作业题,习题四(A)1、2、3、4、5、6、7、,8、9、10.,
