高等数学同济版第一节多元函数的基本概念.ppt

推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意:善于类比,区别异同,多元函数微分法,及其应用,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、区域,1.邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,空间中,点 P0 的去心邻域记为,说明：若不要强调邻域半径,也可写成,平面上,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,2.区域,(1)内点、外点、边界点,设有点集 E 及一点 P,若存在点 P 的某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E 中的内点也含 E,则称 P 为 E 的内点；,则称 P 为 E 的外点;,则称 P 为 E 的边界点.,的外点,显然:E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.,(2)聚点,若对任意给定的,点P 的去心,邻域,内总有E 中的点,则,称 P 是 E 的聚点.,聚点可以属于 E,也可以不属于 E,所有聚点所成的点集成为 E 的导集.,(因为聚点可以为 E 的边界点),(3)开区域及闭区域,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,若点集 E E,则称 E 为闭集；,若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的;,连通的开集称为开区域,简称区域;,。,E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;,例如，在平面上,开区域,闭区域,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点A 的,距离 AP K,则称 D 为有界域,否则称为无界域.,整个平面,点集,是开集，但非区域.,是最大的开域,也是最大的闭域；,二、多元函数的概念,定义1.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域；,类似，有三元函数 有 n 元函数,映射,称为定义,在 D 上的 二 元函数,记作,点集,称为函数的图形.,三、n 元函数的极限,定义2.,当 n=2 时,记,二元函数的极限(二重极限)可写作：,例1.设,求证：,例2.设,求证：,例4.讨论,若当点,于不同值或有的极限不存在，,在点(0,0)的极限.,则可断定函数极限不存在,以不同方式趋于,例3.讨论函数,函数趋,在点(0,0)的极限.,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,二重极限,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,与累次极限,四、多元函数的连续性,定义3.设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续；,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,例5.求,例6.求函数,的连续域.,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,1.区域,邻域:,区域,连通的开集,2.多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,内容小结,有,3.多元函数的极限,4.多元函数的连续性,1)函数,2)闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,作业 P62 6(4),(5)7(2)9,是否存在？,备用题,不存在,