高等数学可降阶高阶微分方程.ppt

,可降阶高阶微分方程,第五节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,特点：,右端不含 y,解法：,降阶,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,特点：,降阶,解法：,右端不含 x,例3.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解一:,若,则,包含在通解中,解二,从而通解为,解三,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,例4.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,即,解方程,解,即,例5.,例6.,解方程,解,令,若,即,积分得,即,或,若,则,包含在通解中,如一方程既属于不含 x 型,又属于不含 y 型,则一般而言,若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）来解较简单,若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）来解较简单,注,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例4,P216 1(1),(3),(5);2(1);,作业,第六节,