高等数学同济版下第九章.ppt

第六节 微分法在几何上的应用,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小结 思考题 作业,设空间曲线的方程,三个函数均可导.,一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,割线 的方程为:,点向式(对称式),参数式,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在M处的切线方程,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过M点且与切线垂直的平面.,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,两边分别对x求全导数,及T,切线方程为？,法平面方程为?,切线方程为,法平面方程为,第二种情况中的三个雅可比行列式,所求切线方程为,法平面方程为,解,例3,利用公式,设曲面方程为,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,隐式,令,则,切平面方程为,曲线在M处的切向量,作业：P100 3，6，8，10,下次课请预习：第八节,设曲面方程为,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,隐式,令,则,切平面方程为,曲线在M处的切向量,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,显式,曲面的法向量,法线的方向向量,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在M处的切平面方程为,其中,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,【分析】为隐式情形（待定常数法）,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）,（求法向量的方向余弦时注意符号）,三、小结,1.【几何应用】,空间曲线有切线和法平面,空间曲面有切平面和法线,思考题,思考题解答,设切点,依题意知法向量为,切点满足曲面和平面方程,【练习】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,【解】,公式法,x,y,z.地位等同,【解】推导法（直接法）,【例】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,z是x,y的函数,两边同时对y求导,作业：P100 T3 T6 T8 T10,下次课请预习：第八节,