高等数学下册第九章第二节复习.ppt

,2二重积分的计算方法,如果积分区域为：,1.化二重积分为二次积分,X型区域,特点：用垂直于x 轴的直线穿过区域D时，和D的边界的交点不超过两个。,一、利用直角坐标计算二重积分,如果积分区域为：,Y型区域,Y 型区域的特点：穿过区域且垂直于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割。,确定积分限的方法：,如是Y 型区域，定限方法类似。,解,例2,解法一：,(4,2),解法2：,小结：计算二重积分的步骤：,1.画出积分区域；,2.根据积分区域和被积函数的特征，选择适当的积分顺序，借助图形确定累次积分的积分限；,3.计算累次(二次)积分。,例3 证明：,证明：,例4 计算底圆半径都等于R的两个直交圆柱面围成的体积。,解：建立如图所示的坐标系，设两圆柱的,由对称性，所围体积等于第一卦限部分的8倍，,积分区域如图,解,2.交换积分顺序,由于二重积分可化为两种不同顺序的二次积分，因此，可借助二重积分交换二次积分的积分顺序。,解,积分区域如图,小结：交换积分顺序时，首先根据二次积分的内外层积分限，确定二重积分的积分区域，再借助于二重积分转化为另一顺序的二次积分。另外，转化时，必须保证每层积分的上限不小于下限。,例7 交换积分顺序：,解,原式=,3.对称区域上二重积分的简化计算,结论：,1.,2.,证明1,当D关于x轴对称，f(x,y)是关于y的奇（偶）函数时，有类似的结论。,二重积分在直角坐标下的计算公式,（在积分中要正确选择积分次序）,(四)小结,Y型,X型,习题(P103)：2(1)(4)，3，4(3)，5，6(5)，9,思考题,思考题解答,二、利用极坐标系计算二重积分,d rdrd 称为极坐标系中的坐标元素,型区域下的计算方法：,特征：用过极点的射线穿过区域，射线和区域边界的交点不超过两个。,1.极点在区域外部,区域特征如图,2.极点在区域边界上,D:,极坐标系下区域的面积,3.1.极点在区域内部,D:,定限方法：,内的任一射线穿过区域，如极点在区,域内，则交点的极径作为内层积分的上限，下限为0；否则，用射线和区域边界的两个交点的极径分别作为内层积分的上、下限（小的为下限）。,适用对象：,积分区域为圆形、圆环形、扇形,等，被积函数形如,解,解,解,例4 计算,解,例5 计算,解,注：含绝对值的积分必须先去掉绝对值然后才能进行计算。,例6 求球体,解,由对称性，所求体积等于第一卦限部分体积的4倍，所以,解,解,例9,解 原式,上述做法是否正确？,答：错。,正确做法：,二重积分在极坐标下的计算公式,（在积分中注意使用对称性）,小结,习题(P110)：1(2)(4)，4(2)，5,思考题,思考题解答,