高等数学D第七章多元函数的微分.ppt

1,第七章 多元函数微分学,7.1 空间解析几何的基本知识,7.2 二元函数的概念,7.3 二元函数的极限与连续,7.4 二元函数的偏导数与全微分,7.5 二元复合函数的求导法则,7.6 二元函数的极值,7.7 最小二乘法,2,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三条坐标轴的,点O叫做坐标原点,正方向符合右手规则：,即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指,从正向x轴以,角度,转向正向y 轴时,大,拇指的指向就是z轴,的正向.,1.空间直角坐标系,坐标系,7.1 空间解析几何的基本知识,3,空间直角坐标系共有八个卦限,4,过此点向三条坐标轴分别作,设空间中任意点,垂直的平面，,交于坐标轴上的点分别记为,设,在各自所在坐标轴上的坐标分别为,横坐标,纵坐标,竖坐标,空间的点,有序数组,5,特殊点的表示:,坐标轴上的点：,坐标面上的点：,注意：坐标面和坐标轴上的点的特征,6,为空间两点.,在直角三角形,和,中,用勾股定理,2.空间两点间点的距离,7,若两点分别为,特殊地,空间两点间距离公式,空间两点间距离公式与平面直角坐标系中两点间,是平面两点间距离公式,距离公式有类似的表达形式，,的推广.,8,解,设P点坐标为,所求点为,例,的距离为到,的距离的两倍,求点P的坐标.,9,解,设满足条件的点为,易得,例,求到两定点,的点的轨迹方程.,距离相等,此即为所求点的轨迹方程.,平面方程,三元一次方程,10,平面的一般方程,任意一个形如上式,的x、y、z的三元一次,方程都是平面方程.,平面的截距式方程,11,解,所求方程为,例,是所求轨迹上任一点,12,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.,曲面方程的定义,(1),曲面S上任一点的坐标都满足方程;,(2),不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;,如果曲面S,有下述关系:,那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.,与三元方程,3.曲面与方程,13,定义,平行于定直线并沿定曲线C,这条定曲线C 称为柱面的,动直线L称为柱面的,准线,母线.,所形成的曲面称为,移动的直线L,柱面.,准线,母线,4.几种特殊的曲面,1）柱面,14,例 讨论方程 的图形.,在xOy面上,解,现在空间直角坐标系中讨论问题.,表一个圆C.,过,作平行z轴的直线L,设点,在圆C上,对L上任意点,的坐标也满足方程,沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点,的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程.,此曲面称为圆柱面.,截痕法:,用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为,圆！,15,例 讨论方程 的图形.,在xOy面上,解,表一个圆C.,在空间,就是圆柱面方程.,截痕法:,用平行于xOy的平面去截此平面，截痕为,圆！,16,截痕法,去截一个曲面，,用平面,这个平面叫截平面，,所得曲线叫截曲线.,即,坐标面，,截痕只有一个点.,截痕法是研究空间曲面的一种常用方法.,从几何背景上看，,截痕为该平面上的一条曲线，,分析不同截平面所得的截曲线,可知曲面的性状.,例,用截痕法研究曲面,截平面为,截曲线为大圆；,截平面为,截曲线为圆,截平面为,17,其大小随平面位置的,变化而变化.,与各坐标面平行的截平面,椭圆.,所得的截痕均为,2）二次曲面,椭球面,18,单叶双曲面,特点是:,平方项有一个取负号,另两个取正号.,椭圆,双曲线,19,或,特点是:平方项有一个取正号,另两个取负号.,它分成上、下两个曲面.,双叶双曲面,椭圆,抛物线,双曲线,20,椭圆抛物面,椭圆,抛物线,21,截痕,双曲抛物面（马鞍面）,双曲线,抛物线,22,1.二元函数的概念,例 理想气体的状态方程是,称 p为两个变量T,V 的函数,其中,如温度T、体积V都在变化,则压强 p依赖,(R为常数),其中p为压强,V为体积,T为温度.,于T,V 的关系是,7.2 二元函数的概念,23,的每一对值，,自变量x,y 所有取值的集合称为该函数的,则称z是x,y的,定义7.1,若变量z与,变量x,y之间有一个依赖关系,如果对,x,y,对应,记为,称x,y为,因变量z对应取值的集合称为该函数的,二元函数.,称z为,自变量,因变量,定义域,值域.,都有唯一一个z值与之,f为,对应关系,24,邻域,设P0(x0,y0)是 xOy 平面上的一个点,几何表示：,.P0,令,有时简记为,称之为,将邻域去掉中心,称之为,去心邻域.,二元函数的定义域：,25,曲线称为边界线，,区域,不包含边界线的区域称为开区域.,整个xOy平面或xOy平面上一条或几条曲线围成的,一部分平面，,称为一个平面区域，,围成这个区域的,包含,边界线的区域称为闭区域，,有界开区域,有界闭区域,26,例 把下面图中的阴影所示的区域表示出来.,o,有界闭区域,无界开区域,27,例 求下面函数的定义域,解,无界闭区域,即定义域为,28,解,定义域是,有界半开半闭区域,29,2.二元函数的表示法：,通常为曲面,图像法、表格法、解析式法,二元函数的图像,30,31,设二元函数,的常数A，,7.3 二元函数的极限与连续,定义1,邻域内有定义，,如果点,以任何方式趋于,时，,对应的函数值,都趋于一个确定,记作,的极限.,(x,y)趋向于(x0,y0)的,路径也是多种多样的.,方向有任意多个,32,相同点,二元函数的极限与一元函数的极限的,一元函数在某点的极限存在的充要,?,定义相同.,差异为,必需是点P在定义域内以任何方式和途径趋,而二元函数,于P0时,相同点和差异是什么,条件是左右极限都存在且相等;,函数都有极限,且相等.,33,设函数,讨论,当P(x,y)沿x轴的方向,当P(x,y)沿y轴的方向,也有,解：,函数的极限是否存在.,无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例,34,函数的极限存在且相等.,当P(x,y)沿直线 y=kx 的方向,其值随k的不同而变化.,所以,极限不存在,说明函数取上面两个,无限接近,于点(0,0)时,事实上,无限接近点(0,0)时,特殊方向,能否做结论极限存在,?,不能,35,设二元函数,则称函数,定义2,如果,连续.,如果函数 f(x,y)在开区域(闭区域)D内的,每一点连续,则称函数,在D内连续,或称函数,是 D内的连续函数.,二元函数的连续性,36,称为多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合仍是连续的.,同一元函数一样,二元连续函数的和、差、,每个自变量的基本初等函数经有限次四则,运算和有限次复合,由一个式子表达的函数,连续的.,在其定义区域内亦是,37,讨论二元函数,是否连续，并求,这个函数是二元初等函数，,的区域有定义，,.,因此连续.,例,解：,在,所以,38,有界闭区域上连续的二元函数的性质,一定有最大值和最小值,介于这两个值之间的任何值,(1)最大值和最小值定理,(2)介值定理,在有界闭区域D上的二元连续函数,在D上,在有界闭区域D上的二元连续函数,如果,在D上取得两个不同的函数值,则它可以在D上取得,二元函数的极限、连续的定义及相关性质都,可以推广到多元函数上去.,39,1、偏导数定义,有定义，,若此函数,则称这个导数为函数,记为,对x的偏导数,7.4 二元函数的偏导数与全微分,或,即,40,同理,可定义函数,即,记为,或,对y的偏导数,41,那么这个偏导数,仍是,的二元函数,它就称为函数,如果函数,对自变量x的偏导函数,(简称偏导数),记作,或,同理,可定义函数,对自变量y的,偏导函数,记作,或,在区域D内任一点,(x,y)处对x的偏导数都存在,42,偏导数的概念可以,推广到二元以上函数.,求多元函数的偏导数,利用一元函数,只需将y,的求导法对x求导即可.,看作常量,并不需要新的方法,43,例 求 的偏导数.,解,例 求 在点(1,0)处的两个偏导数.,解,44,证,例,45,2、偏导数的几何意义,设二元函数,在点,有,如图,偏导数.,过点,作平面,此平面,与曲面相交得一曲线,曲线的,方程为,由于,为一元函数的导数，,易知:,46,偏导数,在几何上表示,曲线,的切线对,x轴的斜率.,同理知 的几何意义.,简单地说，,47,解,例,按定义得,证明函数,二元函数在一点的两个偏导数存在，不能保证函数在该点连续.,48,偏微分.,是函数,3、全微分,设函数,的两个偏导数都是连续的,称,是函数关于,称,全微分.,记作,即,全微分的意义与一元函数的微分相近，,它是函数增量,的近似值，,49,解,例,计算函数,在点,的全微分.,所以,如果函数在某点的全微分存在,则称在这点,可微.,可微,由定义知，,偏导数连续,50,纯偏导,混合偏导,定义,4、高阶偏导数,高阶偏导数.,二阶及二阶以上的偏导数统称为,51,例,的四个二阶偏导数.,解,52,多元函数的高阶混合偏导数如果连,一般地,续就与求导次序无关.,如果函数,的两个二阶混合偏,在区域D内,定理,连续，,那么在,导数,该区域内,两个混合二阶偏导数,与求导变量的次序有关.,相等与否的判断有下述的定理:,53,例,验证函数,满足方程:,证,因,由x,y在函数表达式中的对称性,立即可写出,即证.,54,7.5 二元复合函数的求导法则,复合函数为,则复合函数,偏导数存在,且可用下列公式计算,具有连续偏导数,1.,的情形.,55,变量树图,56,解,例,57,2.,的情形.,定理,且,其导数可用下列公式计算:,具有连续偏导数,导数,称为,全导数.,58,复合函数的中间变量多于两个的情况.,定理推广,变量树图,59,例 设 求,这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.,法二,y,u,v,x,解,法一,可用取对数求导法计算.,60,例 设,变量树图,z,或记,解,对抽象函数在求偏导数时,设中间变量.,同理,61,答案：,练习,62,3、二元隐函数求导法,设方程,隐函数的求导公式,确定函数,恒等式,两边关于x求导,由全导数公式,得,将其代入得,或简写:,63,例,设,记,则,解,64,解,令,则,例,65,1.极大值和极小值的定义,定义,为函数的极大值点.,类似可定义极小值点和极小值.,若对于该邻域内一切异于,为极大值.,则称,7.6 二元函数的极值,设函数,有定义，,有,66,函数的极大值与极小值统称为函数的,函数的极大值点与极小值点统称为函数的,二元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.,有时,极值.,极值点.,的邻域内的值比较.,是与点(x0，y0),极小值可能比极大值还大.,67,例,例,例,在(0,0)点取极小值.,在(0,0)点取极大值.,(也是最大值).,在(0,0)点无极值.,椭圆抛物面,下半个圆锥面,马鞍面,函数,函数,(也是最小值).,函数,68,2.极值的必要条件,定理7.1,(必要条件),则它在该,点的偏导数必然为零:,均称为函数的,驻点,极值点,仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的,点,驻点.,如,驻点,但不是极值点.,如何判定一个驻点是否为极值点,?,69,3.极值的充分条件,定理7.2,(充分条件),的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:,(1),有极值,有极大值,有极小值;,(2),没有极值;,(3),可能有极值,也可能无极值.,70,求函数 极值的一般步骤:,第一步,解方程组,求出实数解,得驻点.,第二步,对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,第三步,定出,的符号,再判定是否是极值.,71,例 讨论双曲抛物面,解：,再求出二阶偏导数,在点,处，,，所以函数在,处不存在极值.,有无极值点.,解方程组,是驻点，,72,例,解,又,在点(0,0)处,在点(a,a)处,故,故,即,的极值.,在(0,0)无极值;,在(a,a)有极大值,73,其中最大者即为最大值,与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.,2.二元函数的最值,求最值的一般方法,最小者即为最小值.,将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及,在D的边界上的最大值和最小值相互比较,74,解,此时,的最大值与最小值.,驻点,得,例,75,例 某企业生产两种产品的产量分别为,单位和,单位，,利润函数为,求两种产品产量各为多少时，可获最大利润，最大利润是多少？,解：由,解方程组,得唯一驻点,实际问题决定最大利润一定存在，,时，取得最大利润，,因此可断定当,此时最大利润为,76,7.7 最小二乘法,设观测或实验数据如下：,能否找到一个简单易算的 p(x)，,p(xi)yi 总体上尽可能小.,使得 f(x)p(x).,这时不要求 p(xi)=yi,而只要,77,使 最小,使 最小,p(xi)yi 总体上尽可能小,使 最小,常见做法,最小二乘法,78,线性模型,使偏差的平方和,达到最小。,79,的最小值.,得到,求二元函数,利用二元函数求极值方法,，则所得一次函数为,这种利用偏差平方和最小的方法称为最小二乘法.,7.7最小二乘法,80,81,82,思考,1.如何确定二次多项式？,2.指数函数如何用线性模型？,83,通过实验数据或观察数据、历史资料来研究两个变量之间的关系，,7.7 最小二乘法,找出两个变量之间的函数关系的近似表达式，是一种建立数学模,型的常用方法.,设观测或实验数据如下：,.,首先将数据在平面直角坐标系中标出，观察数据的分布是否接近,84,实际实验数据是不可能在任何一条直线上的，那么如何确定这条,越小越好，达到最小时确定的两个参数,就是所求.,直线呢？确定的原则是：数据与待定直线之间的偏差的绝对值的,总和,由于绝对值不便于利用微分方法，所以改用偏差平方和，,使之最小：,85,86,求方程组解时通常借助计算器（一般科学计算器都配有最小二,或,）解决.,最小二乘法解方程组的固定模式）或计算机（数学软件如,87,88,解：在坐标系中标出实验数据如图，近似直线，所以设函数,形式为,89,90,