高等代数选讲之多项式理论.ppt
第一讲 多项式理论,多项式理论是高等代数的重要内容之一，虽然它在高等代数课程中是一个相对独立而自成体系的部分，但却为高等代数所讲述的基本内容提供了理论依据。多项式理论中的一些重要定理和方法，在进一步学习数学理论和解决实际问题时常要用到，是代数学中最基本的研究对象之一。因此，在学习这部分内容时，要正确地掌握概念，学会严谨地推导和计算。,知识脉络图解,重因式,一元多项式概念,最大公因式,多项式的相等及运算,带余除法,综合除法,余数定理,多项式恒等及多项式函数的运算,整除性,因式分解,方程的根,不可约多项式,因式分解唯一性定理,数域,多项式函数,多元多项式概念,多元多项式函数,对称多项式,对称多项式基本性质,复数域上的因式分解,实数域上的因式分解,有理多项式不可约判定,本原多项式求有理根,实多项式根的性质,代数学基本定理,根与系数的关系,重点、难点解读,这部分内容对多项式理论作了较深入、系统、全面地论述，内容可分为一元多项式与多元多项式两大部分，以一元多项式理论为主。可归纳为以下四个方面：,（1）一般理论：包括一元多项式的概念、运算、多项式相等、导数等基本性质。,（2）整除理论：包括带余除法、整除、最大公因式、互素的概念与性质。,（3）因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等。,（4）根的理论：包括多项式函数、多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。,一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一元多项式的理论。,对于多元多项式，则要理解 元多项式、对称多项式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的多项式的方法。,一、数域的判定,设P是至少含有两个数（或包含0与1）的数集，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的数，则称P为一个数域。,1、数域的概念,2、数域的有关结论,（1）所有的数域都包含有理数域，即有理数域是最小的数域。,（2）在有理数域与实数域之间存在无穷多个数域；在实数域与复数域之间不存在其他的数域。,例1、设P是一个数集，有非零数，且P关于减法、除法（除数不为零）封闭，证明P是一个数域。,证 因为，所以,若 中有一个为零，则,综上所述，P关于加法、减法、乘法、除法都封闭，所以P是一个数域。,例2、证明：实数域与复数域之间不存在其他的数域。,证 设P是任意一个包含R且不同于R的数域，且P还包含至少一个复数。,由于P是一个数域，所以,但,从而对任意实数 都有，,即P包含了全体复数。,故P=C。,二、一元多项式的概念,1、一元多项式的概念,形式表达式,2、多项式的相等关系,设,则,3、次数公式,（1）,（2）,4、一元多项式环,所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P上的一元多项式环，记为，称P为 的系数域。,5、一元多项式环的有关结论,多项式的加、减、乘运算对 封闭，且多项式的加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分配率，乘法还满足消去律。,6、注意零多项式和另次多项式的区别。,例1、令,求 的奇次项系数之和。,解 法1 由于,两式相乘得,由于 与 无奇次项，从而 不可能有奇次项，故其奇次项系数之和等于零。,法2 因为，所以 是偶函数，于是 的奇次项系数全为零。故其奇次项系数之和等于零。,例2、设 为一多项式，若,则 或,证 若，则证毕。若，由于,所以 只能是零次多项式。,令，又因为,所以，此即,例3设 是非零实系数多项式，是一个正整数，且，则 为零次多项式或者。,三、多项式的带余除法及整除,1、带余除法,2、整除的概念,设，如果存在多项式 使，则称 整除。,3、整除的充分必要条件,注 多项式的整除性是 中元素间的一种关系，不是多项式的运算。整除概念与带余除法有密切的联系，我们不能用带余除法来定义整除，因为这样定义整除，将会遗漏零多项式整除零多项式的情形。,4、整除的性质,（1）任一多项式 一定整除它自身，即,（2）,（3）零次多项式能整除任一多项式；,（4）零次多项式只能被零次多项式整除；,（5）零多项式只能整除零多项式；,（6）如果，则，其中 为非零常数，为常数；,（7）如果，且，则,任意多项式都整除零多项式。,（10）多项式 有相同的因式与倍式；,（11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变。,5、综合除法,设以 除,所得的商，及余式 则,比较 两端同次幂的系数得,6、判定整除的方法,为证明一个多项式 整除一个多项式，如果其系数已具体给出时，通常采用带余除法和待定系数法。,如果 的系数未具体给出时，可采用以下方法：,现设出 的全部复根，并假设 无重根，即,其中 互异。,再证,则有,从而,这是因为,两两互素，故,因式分解法：直接将 因式分解，得出，当然这种情况只有在特殊情况下才能做到。,验根法：,例1、将多项式,按 的 方幂展开。,解 法1 应用综合除法，即对于 次多项式，用 逐次除所得的商，得,法2 应用泰勒公式，由泰勒公式,得,从而,例2：设,证明：,例2、若，问是否必有？若不成立，举出反例。若成立，请说明理由。,解 成立。,法1 因为，所以，即,从而，故存在，使得,于是，此即,法2 有 个不同的复根，设为,则有，于是,这表明 都是 的根，故,例3、证明（是三个任意的正整数）。,分析 用带余除法及待定系数法不易证明时，可以考虑采用因式定理来证明，即 的充分必要条件是,证 可求得 的根为,所以，又由,知，从而,设,则有,故由因式定理知 且，又因为,且 互素，从而,即,注 本例证明中，是指在复数域C上，而命题本身可理解为在一般数域P上讨论整除问题。这是因为整除的概念是在带余除法基础上定义的，而带余除法所得的商及余式不随系数域的扩大而改变，因此，上述多项式在P上与在C上整除是一致的。,四、最大公因式的计算与证明,1、最大公因式的概念,设，如果 满足 且，则称 为 与 的一个公因式；又如果 与 的任一公因式都能整除，则称 为 与 的一个最大公因式。,1、最大公因式的概念,设，如果 满足 且，则称 为 与 的一个公因式；又如果 与 的任一公因式都能整除，则称 为 与 的一个最大公因式。,四、最大公因式的计算与证明,2、最大公因式的性质,（1）中任意两个多项式 与 一定有最大公因式。两个零多项式的最大公因式是零多项式，它是唯一确定的。两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零多项式，它们之间只有常数因子的差别；最高次项系数为1的最大公因式是唯一确定的。,（2）设 如果有,则 与 的最大公因式一定是 与 的最大公因式，而 与 的最大公因式也一定是 与 的最大公因式。特别地，有。（这也是用辗转相除法求最大公因式的根据）,（3）设，如果 是 与 的最大公因式，则必有，使,（4）最大公因式不因数域P的扩大而改变。,2、求最大公因式的方法,（1）辗转相除法；,（2）因式分解法 如果求得 与 的典型分解式,其中 是首项系数为1的不可约多项式，为常数，为非零整数，令，则,不唯一,例1、证明：若，则,证 令,由于,所以,若,由于,所以,从而,故,由于 的首项系数为1，故,例2、设 不全为0，求证：,（为正整数）,证 法1 令，即证,因为,所以,于是,此即,再由式有,从而存在，使得,两边乘 得,由上式知,故,法2 令，则,且,从而,故有,五、互素多项式的判定与证明,1、互素多项式的概念,注 零多项式与任一多项式都不互素。,若多项式 互素，并不要求其中任意两个多项式都互素。,2、互素多项式的性质,（1）设，则 与 互素的充分必要条件是，存在，使,（2）如果，且，则,（3）如果，且，则,（4）如果，则,3、判定互素多项式的方法,主要利用互素的充分必要条件，即,例1 设 与 为数域F中两个次数大于零的多项式，证明：若，则 使 其中，并且满足这样条件的 是唯一的。,例2、设 都是 中的非零多项式，且,这里，又若,且。证明：不存在，且,使,证 用反证法。若存在 使式成立，则用 乘式两端，得,因为，由式有,但，所以，这与,矛盾。,证 必要性 设，则,例3、设 与 是数域P上两个一元多项式，为给定的正整数。求证：的充分必要条件是,其中，两边 次方得,故,充分性 设,（1）若，则,（2）若 不全为零，则令,有,，且,于是,由于,所以存在，使得,将上式代入得,两边消去，得,由上式得，但，故,这样继续下去有，由于,所以，其中 为非零常数。,故,从而 也是 与,的一个最大公因式。,则有,例：对任意非负整数，令 证明：,六、不可约多项式的判定与证明,1、不可约多项式的概念,如果数域P上次数大于零的多项式 不能表示成数域P上两个次数比它低的多项式的乘积，则称 是数域P上的不可约多项式。,注 零多项式与零次多项式既不能说是可约的，也不能说是不可约的。,多项式的可约性与多项式所在的数域密切相关。,互素多项式指的是 上的两个多项式之间的一种关系，而不可约多项式是某个多项式本身的一种特性，这是完全不同的两个概念，但在讨论问题时，互素多项式与不可约多项式的性质又是互相利用的，要学会灵活运用。,2、不可约多项式的性质,（1）如果 是数域P上的不可约多项式，则 也是P上的不可约多项式，其中 是P中的非零数。,（2）如果 是数域P上的不可约多项式，则对P上的任一多项式，必有 或,3、不同数域上的不可约多项式,在复数域上，不可约多项式只能是一次式；在实数域上，不可约多项式只能是一次式或判别式小于零的二次式；在有理数域上，存在任意次的不可约多项式。,（2）爱森斯坦判别法；,（1）对于2次和3次有理多项式，如果 没有有理根，则 在有理数域上不可约，但当次数大于3时，结论不再成立。如 没有有理根，但它在有理数域上是可约的。,4、有理系数多项式可约性判别,设 是一个整系数多项式,如果存在素数，使,则 在有理数域上不可约。,注意：爱森斯坦判别法只是给出了一个有理系数多项式不可约的充分条件，所以，如果找不到满足条件的素数，则不能确定定多项式是否可约。为了扩大爱森斯坦判别法的使用范围，有以下两个结论,结论1：令，则整系数多项式 在有理数域上有相同的可约性。,结论2：令，,则整系数多项式,在有理数域上有相同的可约性，其中,证 必要性 已知 不可约，假设 在有理数域上可约，即,其中 是有理系数多项式，且次数小于 的,有理系数多项式，次数不变，且有,次数，在上式中用 代，所得各多项式仍为,这说明 在有理数域上可约，矛盾。故 在有理数域上不可约。,其中 是有理数域上次数小于 的多项式，由此可得,这与 不可约矛盾。故 在有理数域上不可约。,证 假设 在有理数域上可约，则 可以分解为两个次数较低的整系数多项式之积，即,充分性 已知 不可约。假设 可约，设,其中 是整系数多项式，且,由题设可得,此时有 或,即总有,可见多项式 有 个互异的根。但,这与多项式在任一数域中的根的个数不超过多项式的次数相矛盾，所以 在有理数域上不可约。,例3、设 是素数，为整数，而 且，证明：没有有理根。,证 令，则,其中,因为，即，则。且由,，得,将 代入整理得,矛盾。,故,否则，即，利用,，得，矛盾。,例4：设 为有理数域上的 次 多项式，并且 在有理数域上不可约，如果 的一个根 的倒数 仍是 的根，证明：的每一个根的倒数都是 的根。,七、重因式的判定与证明,1、重因式的概念,注意：1）当 时，称 为 的单因式，当 称 为 的重因式。2）重因式是不可约多项式。,2、重因式的有关结论,（1）如果不可约多项式 是 的 重因式，则它是 的 重因式。,（2）如果不可约多项式 是 的 重因式，则它是 的因式，但不是 的因式。,（3）不可约多项式 是 的重因式的充分必要条件是，是 与 的公因式，即,（4）多项式 没有重因式的充分必要条件是 与 互素。即,（5）单因式化,设,则 与 有完全相同的不可约因式，且没有重因式。,3、判断多项式有无重因式的方法,第一步 由 求，利用辗转相除法求出,则比 次数低且较简单的 的所有不可约因式即是 的所有互异不可约因式。,第三步 为确定 的不可约因式 的重数 只需累次（次）用带余除法以 除 及其商式，直至不能整除，便知重数 了。,例1、设复系数非零多项式 没有重因式，证明：,证 因为 无重因式，所以,任取 与 的公因式，则,且,于是,即,即 是 与 的公因式，从而。故,例2、设，判断 是否有重因式，并求 的标准分解式。,例3、证明：数域P上一个 次多项式 能被它的导数整除的充分必要条件是,其中,证 充分性 因为,所以,必要性 法1 利用典型分解式，设 的典型分解式为,其中 是P上首项系数为1的不可约多项式，是 的首项系数，是正整数且,则,此处 不能被任何 整除。,因为，所以,可见 可能的因式为非零常数及,但,故,设，则有,即得,从而,这只有，且，于是,设，则有,法2 待定系数法 设,则,由 及 知，存在多项式,使,比较系数可得，此时,其中，于是，即为,首项系数为1的 次多项式，故,所以 的不可约因式只能是 及它的非零常数倍。,由于 包括了 的全部不可约因式，,考虑到 的次数是，所以 具有形式,（）,八、多项式函数与多项式的根,1、多项式函数的概念,设 若 由多项式 确定P中唯一的数 与之对应，则称 为P上的一个多项式函数。,数域P上的两个多项式相等的充分必要条件是在它们所定义的数域上的多项式函数相等。,注 在讨论多项式时，无论采用形式观点，还是函数观点是统一的。采用形式观点对统一处理多项式比较方便；采用函数观点对研究多项式的根和方程理论比较直观。,2、多项式的根,设，如果，则称 为 的一个根。如果 是 的 重因式，则称 是 的 重根。,注 多项式的根是用函数观点来定义的。,根据多项式根的定义，数域P上的每一个数都是零多项式的根，而零次多项式没有根。,3、多项式函数的性质,（1）余数定理 设，用一次多项式 去除 所得的余式是一个常数，并等于函数值,注 余数定理表明可以采用综合除法确定多项式 在 时的值 或验证 是 的单根或重根，这比直接将 代入 计算要方便得多。,（2）因式定理 设 的充分必要条件是,（3）中 次多项式在数域P的根不可能多于个（重根按重数计算）。,4、代数基本定理,（1）定理 每个次数 的复系数多项式在复数域中至少有一个根。,（2）次复系数多项式在复数域内恰有 个复根（重根按重数计算）。,5、根与系数的关系,设 是一元 次多项式,（）,的 个根，则根与多项式的系数之间有关系,6、实系数多项式的根,如果 是实系数多项式 的一个非实复数根，则它的共轭数 也是 的根，并且 与 有同一重数。由此可知，奇数次实系数多项式必有实根。,7、有理系数多项式的根,设 是一个整系数,多项式，而 是它的一个有理根，其中 互素，则,必有。特别地，如果 的首项系数 则 的有理根都是整数，而且是 的因子。,注 当有理系数多项式 在有理数域上不可约，且 时，没有有理根。这里 是必须的，如 有有理根，但 且 不可约。,“有理系数多项式 没有有理根，则 在有理数域上不可约。”这一命题当 时是成立的，但当 时，命题不再成立，如 没有有理根，但它在有理数域上可约。,8、关于单位根,（1）若 是方程 的解，即满足，则称 为一个 次单位根。,（2）由于 与它的微商 互素，所以 无重根，故对任意自然数，恰有 个不同的 次单位根,（3）利用复数的开方易知，个 次单位根为,例1、当正整数 取何值时，有重因式。,解，由重因式判定定理知，有重因式的充分必要条件是 与 不互素，即 与 有公共根，于是,可得,这表明 与 都是 次单,位根。,令，则,由 得,例2、设,其中 是整数，试求出使 有公共有理根的全部，并求出相应的有理根。,解 令,由于 与 具有相同的根，从而可求 与 的公共有理根,可能的有理根为：,可能的有理根为：,因此，它们可能的公共有理根的范围是,（1）当 时，得,解得,（2）当 时，得,解得,（3）当 时，得,解得,（4）当 时，得,解得,此时，,例2、试求7次多项式，使 能被 整除，而 能被 整除。,例3、试求以 为根的有理系数的不可约多项式。,解 设，且以 为根，则,也一定是 的根，这时令,下证 在 上不可约。,由于 如果有有理根，必为，但 都不是 的根。这就是说 不可能分解为一个一次式与三次式之积。,其次，如果 在 上分解为两个二次式之积，则必可在 上分解为两个二次式之积，即,其中，比较两边系数得,由式知 或。,当 时，由式得，再由式得,即，但 是整数，矛盾。,当 时，得，所以 也不可能。,因此 不可能分解为两个二次式之积。,综上所述，在 不可约，即为所求。,证 因为，故设,于是，这表明 的根一定是都是 的根。,反之，任取 的一个根，即，则有,若 不是 的根，则由上式有,此即,这与 矛盾。,故 也是 的根，综上两步即证结论。,九、重要数域上多项式的因式分解,1、复数域上多项式的因式分解,（1）复系数 次多项式在复数域上都可以唯一分解成一次因式的乘积。换句话说，复数域上任一次数大于1的多项式都是可约的。,（2）复数域上 次多项式 具有典型分解式,2、实数域上多项式的因式分解,（1）实系数 次多项式在实数域上都可以唯一分解成一次因式与二次不可约因式的乘积。换句话说，实系数多项式在实数域上不可约的充分必要条件是,或,且,（2）实数域上 次多项式 具有典型分解式,3、有理数域上多项式的因式分解,（1）如果一个非零的整系数多项式 的各项系数互素，则称 是一个本原多项式。,（2）设 是任一有理系数多项式，则存在有理数 及本原多项式 使,且这种表法除了相差一个正负号是唯一的。,（3）高斯引理 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。,（4）如果一个非零整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，则它一定能够分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。,（5）设 是整系数多项式，为本原多项式，如果，其中 是有理系数多项式，则 一定是整系数多项式。,（6）在有理数域上存在任意次数的不可约多项式。,例1、设 是整系数多项式，若 为奇数且 中至少有一个是奇数或 和 都不能被3除尽，则多项式 无有理根。,证 若 有有理根，其中 与 互素，则,因为s与t 互素，是本原多项式。因此 是整系数多项式。,设 是任意整数，则 是整数，取,又,因为 与 都,是奇数，从而s与t也都为奇数。这样 都是偶数。,从而 和 是偶数，与假设矛盾。,若 都不能被3除尽，则 也不能被3除尽。,于是 至少有一个能被3除尽。,由前面的证明知,和 至少有一个能被3除尽，这也与假设矛盾。,因此，在两种情况下，都没有有理根。,例2、设 是一个整系数多项式。证明如果存在一个偶数 及一个奇数，使 与 都是奇数，则 没有整数根。,证 设，其中 是整数，,由于 是偶数，而,是奇数，从而 为奇数。,这样，对任意偶数，都有,是奇。,又 为奇数，也,是奇。,对任意奇数，有 是偶数，因此,是偶数。,又 为奇数，从而 必为奇数。,这样，对任意整数 都是奇数，从而,即 没有整数根。,1、多元多项式,设 是一个数域，是 个文字，式子,称为一个单项式，一些单项式的和,称为 元多项式,注意：（1）元多项式的次数，首项（字典排法）（2）齐次成分表示法：次多项式 可以表示为,其中 是 次齐次多项式，,十、化对称多项式为初等对称多项式的多项式,2、对称多项式的概念,则称 为数域P上的一个 元对称多项式。,下列 个对称多项式称为初等对称多项式,2、对称多项式的有关结论,（1）对称多项式的和、乘积仍为对称多项式；对称多项式的多项式仍为对称多项式。,（2）对称多项式基本定理 设 是数域P上的 元对称多项式，则存在唯一的 元多项式,使得,其中,为初等对称多项式。,3、将对称多项式表为初等对称多项式的多项式的方法,方法1 逐步消去首项法,第一步 首先找出对称多项式 的首项,则一定有,第二步 由 的首项写出：,第三步 作，并展开化简。,再对 按第一、二、三步进行，构造，如此反复进行，直至出现，则,第一步 根据 的首项指标组写出可能的指标组,这些指标组应满足,前面的指标组先于后面的指标组,第二步 由指标组 写出对应的初等对称多项式的方幂的乘积,方法2 待定系数法 设 是 次齐次对称多项式,第三步 设出 由所有初等对称多项式的方幂的乘积的线性表达式，其首项系数即为 的首项系数，其余各项系数分别用 代替。,例1、化对称多项式,为初等对称多项式的多项式。,的和，可分别化 与 为初等对称多项式的多项式。,解 是由两个齐次对称多项式,法1 由于,所以,法2 逐步消去首项法。的首项为，作,则,从而,解法1是非常特殊的方法，往往要经过复杂的变形，技巧性较高。,还可求得,故,又 的首项为，作 则,而 的首项为，作，则,从而,故,解法2是采用对称多项式基本定理证明过程中的方法，当对称多项式的次数较高时，计算比较麻烦。,法3 待定系数法 的首项为，写出不先于首项的所有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如下表：,这是一个恒等式，为了确定待定系数，取,则,代入解得，于是,又 的首项为，写出不先于首项的六次所有指数组及相应的初等对称多项式方幂的乘积如下表：,则,取 等于一些特殊值，经计算可解得,于是,故,解法3是一种常用的方法，但必须注意：此方法仅适用于齐次对称多项式；注意指数组应满足的条件；在选取文字的值时，应尽可能使待定系数容易求出。,例2、已知 的 个根为，求。,
