高数导数与微分复习.ppt

1/21,导数与微分,第三章,习题课,一、用导数定义求导(可导充要条件),二、用求导法则求导,四、函数的微分,三、高阶导数求法,2/21,一、用导数定义求导,1.导数定义的等价形式,点导数,导函数,3/21,【例1】,【解】用导数定义,【解】用求导法则,先求导函数,故,同理可求 f(0)(自己练习),4/21,【例2】已知可导函数f(x)表示的曲线在,【分析】,切线斜率,点导数,导数定义,极限,【解】,点(0,1)处的切线的斜率为1/2，求,5/21,二、用求导法则求导,1.四则运算的求导法则,2.反函数的求导法则,3.复合函数的求导法则,4.隐函数求导法则5.对数求导法（注意适用类型）,6.参数方程确定的函数求导法,【复习】幂指函数的导数求法,方法：化为,复合函数链式法则,方法：对数求导法.,16组求导公式,6/21,【例7】求导数：,【解】,【分析】复合函数链式法则,【关键】搞清每一部分的复合结构用相应的导数公式,7/21,【例9】,【解】,两边取对数,【分析】隐函数求导(幂指函数)对数求导法,8/21,【例10】,【解】,【分析】含有幂指函数对数求导法,9/21,【例11】设,存在且不为零，,求,【分析】参数方程的求导，特别注意高阶导数每次都 要用参数方程求导公式.,【解】,高阶导数,10/21,三、高阶导数求法,直接法；归纳法；四则运算法；间接法；,【常用 n 阶导数公式】,11/21,【例12】,【解】,【分析】n 阶导数间接法.,12/21,【例13】,【分析】分界点的二阶导数要用二阶导数定义求,为此，须先求f(x)及f()，再用定义计算f().,【解】,f()=1 也用导数定义求得,13/21,五、奇(偶)函数和周期函数的导函数,1、可导奇(偶)函数的导函数是偶(奇)函数.,【练习】,1.判断:可导非奇非偶函数的导函数必为非奇非偶函数（）,2.非周期函数的导函数必为非周期函数吗？,y=x,2、可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变.,14/21,3.设f(x)是偶函数且在点x=0可导,则 f(0)=0,【提示】,本题只能用定义去证。仅知在某点可导，则在该点的某个小邻域内不一定可导.,若由f(x)为奇函数得,f(x)=f(x)，令 x=0 得证.,【证】,即,由于f(0)存在,15/21,四、微分公式与微分法则,【求法】计算函数的导数,再乘以自变量的微分.,1.【基本初等函数的微分公式】,16/21,2.【函数和、差、积、商的微分法则】,17/21,【教材例2】,【解】,【例3】,【解】,18/21,【结论】,微分形式的不变性,3.【复合函数的微分法则】（微分形式的不变性）,19/21,【例5】,【解】,【教材例4】,【解】,20/21,1、计算函数增量的近似值,【例6】,【解】,微分在近似计算中的应用,