高数上复习题.ppt

1、求极限：,2、设函数,4、证明,3、求 的反函数及其定义域.,5、给定函数,讨论,时,的极限是否存在.,6.试确定常数 a，使,7、讨论函数,间断点的类型.,8、设，当 时，使得,为连续函数。,9、设函数,在 x=0 连续,则 a=,b=.,10、确定常数 a,b,使,11、问曲线,哪一点有铅直切线?哪一点处,的切线与直线,平行?写出其切线方程.,处的连续性及可导性.,12、设,13、设,存在,则,14、已知,则,15、设,存在,且,求,16、,17、设,求,18、设,19、,求,20、,设,求,求,21、,22、,求,23、证明等式,24、证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,25、若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,26、求,解:,原式,注意:不是未定式不能用洛必达法则!,洛,洛,27、求,解:原式,思考:如何求,(n 为正整数)?,洛,28、求,解:注意到,原式,洛,分析:,29、,原式,洛,30、证明,时,成立不等式,证:令,从而,因此,且,证,证明,对应,31、求曲线,的凹凸区间及拐点.,解:1)求,2)求拐点可疑点坐标,令,得,3)列表判别,故该曲线在,及,上向上凹,向上凸,点(0,1)及,均为拐点.,凹,凹,凸,32、求函数,的极值.,解:,1)求导数,2)求极值可疑点,令,得,令,得,3)列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,33、设,是方程,的一个解,若,且,(A)取得极大值;,(B)取得极小值;,(C)在某邻域内单调增加;,(D)在某邻域内单调减少.,提示:,A,34、求,解:原式,35、求,解:原式=,36、求,解:原式=,37、若,的导函数为,则,的一个原函数,是().,提示:已知,求,即,B,?,?,或由题意,其原函数为,38、求下列积分:,提示:,39、求不定积分,解：,40、求,想到,解:,(直接配元),41、求,解:,42、求,解:原式=,分析:,43、求,解:令,则,原式=,44、求,解:令,则,原式,再令,则,故 原式=,说明:也可设,为三角函数,但两次所设类型,必须一致.,45、求,解:令,则,原式=,46、求,解:令,则,原式,令,47、求,解:已知,例1(3),例1(3),48、求,解:原式,思考:如何求,提示:,变形方法同例3,并利用书 P363 公式20.,49、求,解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的,最小公倍数 6,则有,原式,令,50、计算,解:令,则,原式=,且,51、,证:,(1)若,(2)若,偶倍奇零,52、计算,解:,原式=,53、设,求,解:,(分部积分),54、求,解:令,则,原式,55、计算两条抛物线,在第一象限所围,图形的面积.,解:由,得交点,55、求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.,解:,56、求抛物线,在(0,1)内的一条切线,与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与 x,y 轴的交点分别为,所指面积,使它,故为最小值点,因而所求切线为,得 0,1 上的唯一驻点,57、求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C 为任意常数),所求通解:,58、,解法 1 分离变量,即,(C 0),解法 2,故有,积分,(C 为任意常数),所求通解:,积分,59、解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然 x=0,y=0,y=x 也是原方程的解,但在,(C 为任意常数),求解过程中丢失了.,60、解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,61、求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,62、求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,63、求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,64、,解:,65、,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,时可设特解为,时可设特解为,提示:,66、(填空)设,