超静定结构-力法.ppt

第二部分 超静定结构第六章 力法,1 超静定结构的组成和超静定次数 2 力法的基本概念 3 超静定刚架和排架 4 超静定桁架和组合结构 5 对称结构的计算 6 两铰拱7 无铰拱（自学）8支座移动和温度改变时的计算 9 超静定结构位移的计算10超静定结构计算的校核,1 超静定结构的组成和超静定次数,超静定结构的组成 超静定次数,一、超静定结构,总起来说，约束有多余的，内力（或支座反力）是超静定的，这就是超静定结构区别于静定结构的两大基本特征。凡符合这两个特征的结构，就称为超静定结构。,2、超静定结构的两种约束,3、超静定结构的五种类型,4、分析超静定结构的两个基本方法,二、超静定次数的确定,力法是以结构中的多余约束力为基本未知量的，一个结构的基本未知量数目就等于结构的多余约束数目。因此，力法计算首先要找出结构的多余约束。,超静定结构中的多余约束数目，称为超静定次数，用n表示。,确定结构超静定次数最直接的方法是解除多余约束法，即将原结构的多余约束移去，使其成为一个（或几个）静定结构，则所解除的多余约束数目就是原结构的超静定次数。,1）移去一根支杆或切断一根链杆，相当于解除一个约束。,2）移去一个不动铰支座或切开一个单铰，相当于解除两个约束。,3）移去一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于解除三个约束。,4）将固定支座改为不动铰支座或将梁式杆中某截面改为铰结，相当于解除一个转动约束。,X1,X1,X1,解除超静定结构的多余约束，归纳起来有以下几种方式：,在解除多余约束判断结构的超静定次数时，应特别注意：既须移去全部多余约束，又要保留每个必要约束，以保证结构成为没有任何多余约束的几何不变体系，亦即成为静定结构。,对于图示结构，水平支座链杆不可去掉，否则就将变成几何可变体系；如果只去掉一根竖向支座链杆，则其中的闭合框格仍然具有三个多余约束。还必须把该闭合框格再切开一个截面，这时才成为静定结构。因此，原结构总共有四个多余约束，即为四次超静定体系。,（1）刚性联结的封闭框格，必须沿某一截面将其切断。（2）去掉多余联系的方法有多种，但所得到的必须是几何不变体系；几何可变、瞬变均不可以。,图示体系是六次超静定结构：,对同一超静定结构，可以采取不同的方式移去多余约束，而得到不同的静定结构，但是多余约束的数目总是相同的，因而所确定的结构超静定次数也是唯一的。,例,试确定图(a)、(b)所示结构的基本未知量。,(a),(a1),(a2),（3 次）,或,（14 次）,或,(1 次）,(6 次),(4 次),2力法的基本概念,一、力法的基本思路:把超静定结构的计算问题转化为静定结构的问题，即利用已熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。,1、找出关键问题力法的基本未知量,图中的超静定结构与静定结构相比较，其不同之处在于：在支座B处多了一个多余未知力X1，这就造成了该结构的超静定性。只要能设法求出这个X1，则剩下的问题就纯属静定问题了,2、寻求过渡途径力法的基本体系,将图示结构的多余约束移去，而代之以多余未知力X1，并保留原荷载所得到的结构，称为力法的基本体系。与之相应，把结构的多余约束并连同荷载一起移去后所得到的结构，称为力法的基本结构。,基本体系本身既是静定结构，又可用它代表原来的超静定结构。因此，它是由静定结构过渡到超静定结构的有效途径。,3、补充转化条件力法的基本方程,应用叠加原理把条件写成显含多余未知力Xi的展开形式。,1=B=0,1=1P11=0,1为基本体系在荷载与未知力X1共同作用下沿X1方向的总位移；,1P为基本结构在荷载单独作用下沿X1方向的位移；,11为基本结构在未知力X1单独作用下沿X1方向的位移。,位移1、1P和11的符号都以沿假定的X1方向为正。,=,若以d11表示基本结构在单位力X1=1单独作用下沿X1方向产生的位移，则有,于是，上述位移条件可写为,此方程便称为一次超静定结构的力法的基本方程。,11=d11X1,11X1+1P=0,=,+,由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图自乘或互乘的过程。,11X1+1P=0,正号表明X1的实际方向与假定方向相同，即向上。,可利用已经绘出的 图和MP图按叠加法绘制，即,二、力法的计算步骤,1）确定基本未知量数目,2）选择力法基本体系。,3）建立力法基本方程。,4）求系数和自由项。,5）将系数和自由项代入力法方程，解方程，求多余未知力。,6）作内力图：叠加法计算控制截面的内力值。,7）校核。,力法基本未知量数=结构的多余约束数=结构的超静定次数,11X1+1P=0,原结构,基本体系,【例】试计算图示连续梁，并作内力图。,解：(1)确定基本未知量数目,(2)选择力法基本体系,(3)建立力法基本方程,此连续梁外部具有一个多余约束，即n=1,(4)求系数d11和自由项D1P,在基本结构上分别作 图和MP图,(5)解方程，求多余未知力X1,(),(6)作内力图,可利用叠加公式 计算和作M图，即,M图,ql2/8,ql2/8,ql2/8,(ql2/8),(ql2/8),A,B,C,D,E,取杆件为隔离体，化作等效简支梁，根据已知的杆端弯矩和跨间荷载，由平衡条件求出杆端剪力，并作FQ图,力法的基本原理是：以结构中的多余未知力为基本未知量；根据基本体系上解除多余约束处的位移应与原结构的已知位移相等的变形条件，建立力法的基本方程，从而求得多余未知力；最后，在基本结构上，应用叠加原理作原结构的内力图,三、力法的基本体系选择及典型方程,(一)关于基本体系的选择,第二，便于绘制内力图。,第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加新的约束。,解法1:,有两个多余约束,解除多余约束代以未知力,(二)关于多次超静定基本方程的建立,先讨论两次超静定结构。,或,基本未知力引起的位移,荷载引起的位移,变形协调条件 力法典型方程,作单位和荷载弯矩图,求系数、建立力法方程并求解,仅与刚度相对值有关,由叠加原理求得,也可以选择其它形式的基本体系。变形条件仍写为,D1=0（表示基本体系在X1处的转角为零）,D2=0（表示基本体系在X2处的水平位移为零）,据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（3）完全相同的力法基本方程。因此，式（3）也称为两次超静定结构的力法典型方程。不过须注意，由于不同的基本体系中基本未知量本身的含义不同，因此变形条件及典型方程中的系数和自由项的实际含义也不相同。,对于n次超静定结构，则有n个多余未知力，而每一个多余未知力都对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件，故可据此建立n个方程，从而可解出n个多余未知力。当原结构上各多余未知力作用处的位移为零时，这n个方程可写为,(4),这就是n次超静定结构的力法典型方程。方程的物理意义：基本结构在全部多余末知力和荷载共同作用下,沿每个多余末知力方向的位移,应与原结构中对应位移相等。,(三)关于系数和自由项的计算,1）主斜线（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系数dii称为主系数或主位移.主系数的物理意义：基本结构由于Xi=1单独作用引起的沿Xi方向的位移。其值恒为正，且不会等于零。,2）其它的系数dij（ij）称为副系数或副位移，副系数的物理意义：基本结构由于Xj=1单独作用引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、负或零。,3）各式中最后一项DiP称为自由项。自由项的物理意义：基本结构由于荷载单独作用引起的沿Xi方向的位移。其值可能为正、负或零。,4）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置的两个副系数dij与dji是相等的，即,dij=dji,典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的位移，完全可以用第5章所述方法求得。对于荷载作用下的平面结构，这些位移的计算式可写为,作出原结构的最后弯矩图后，可直接应用平衡条件计算Q和N，并作出Q图和N图。,如上所述，力法典型方程中的每个系数都是基本结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然，结构的刚度愈小，这些位移的数值愈大，因此，这些系数又称为柔度系数；力法典型方程表示变形条件，故又称为结构的柔度方程；力法又称为柔度法。,结构的最后弯矩图可按叠加法作出，即,【例】试计算图示两端固定梁并作内力图。EA、EI均为常数,解:(1)确定基本未知量数目,n=3,(2)选择力法基本体系,(3)建立力法典型方程,(4)求系数和自由项,d13=d31=0，d23=d32=0，D3P=0,力法典型方程中的第三式d33X3=0,据此可得X3=0,故力法典型方程简化为,应用图乘法，可得,(5)解方程，求多余未知力,(),(6)作最后弯矩图和剪力图,【例】试计算图示刚架，并作内力图。EI=常数,解：(1)确定基本未知量数目,n=2,(2)选择力法基本体系,(3)建立力法典型方程,(C处水平方向不离开)(C处竖直方向不错开),3 超静定刚架和排架,(4)求系数和自由项,(5)解方程，求多余未知力,(6)作最后内力图:,作出M图以及FQ、FN图:,FQ图(kN),FN图(kN),【例】试用力法计算图示排架，并作弯矩图。,解：(1)确定基本未知量数目,n=1,(2)选择力法基本体系,对于铰接排架取切断横向链杆为基本体系,(3)建立力法基本方程,(4)求系数和自由项,EI,3EI,4 超静定桁架和组合结构,桁架各杆的最后轴力则可按下式计算：,【例】计算桁架的轴力，设各杆EA相同,(2)选择力法基本体系,解：(1)确定基本未知量数目,(3)建立力法基本方程,(4)求系数和自由项,(5)解方程，求多余未知力,(6)计算原结构各杆轴力,由计算知，在荷载作用下，超静定桁架的内力与杆件的绝对刚度EA无关，只与各杆刚度比值有关。,其中：,力法典型方程为：,各杆最后内力由叠加法得到：,问题：若用拆除上弦杆的静定结构作为基本结构，本题应如何考虑？,其中：,解得：,解：,力法典型方程为：,正确否？,解：,力法方程的实质为：3、4两结点的相对位移 等于所拆除杆的拉（压）变形,自乘求11,令：,有：,（拉）,超静定组合结构,用力法计算时，一般可将桁杆作为多余约束切断而得到其静定的基本体系。计算系数和自由项时，对桁杆应考虑轴向变形的影响；对梁式杆只考虑弯曲变形的影响，而忽略其剪切变形和轴向变形的影响。,【例】试用力法分析图示超静定组合结构。已知:,横梁AB：Eh=3107kN/m2，I=6.6310-4m4,压杆CE、DF：Eh=3107kN/m2，A1=1.6510-2m2,拉杆AE、EF、FB：Eg=2108kN/m2，A2=0.1210-2m2,解：为了简化计算，首先求出如下各比值：,(1)确定基本未知量数目,n=1,(2)选择力法基本体系,(3)建立力法基本方程,(4)求系数和自由项,由公式:,可得,(5)解方程，求多余未知力,(6)作最后内力图,无弯矩状态的判别,刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况,前提条件：结点荷载；不计轴向变形。,5 对称结构的计算,刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况,利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使手算分析得到简化。,一、对称性的利用,对称结构,非对称结构,注意：结构的几何形状、支承情况以及杆件的刚度三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称超静定结构是对称结构。,支承不对称,刚度不对称,几何对称支承对称刚度对称,对称结构的求解：,力法典型方程为：,（1）选取对称的基本结构,典型方程简化为：,正对称与反对称荷载：,如果作用于结构的荷载是对称的，如:,如果作用于结构的荷载是反对称的，如:,结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称多余力为零，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，对称多余力为零,其内力和位移都是反对称的。,例，求图示结构的弯矩图。EI=常数。,解：根据以上分析，力法方程为：,例：,（2）未知力分组和荷载分组,力法典型方程成为：,未知力分组,对称结构的求解：,对称结构承受一般非对称荷载时，可将荷载分组,（3）取半结构计算：,（d）,（c）,奇数跨对称刚架,正对称荷载,反对称荷载,偶数跨对称刚架,正对称荷载,反对称荷载,例1：求作图示圆环的弯矩图。EI=常数。,解：,取结构的1/4分析,单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：,(b),（a),若只考虑弯矩对位移的影响，有：,弯矩为：,二、使单位弯矩图限于局部,三、合理地安排铰的位置,6 两铰拱,用力法计算时，通常采用简支曲梁为基本结构，以支座的水平推力为多余未知力。利用基本体系在B支座沿X1方向的线位移为零的变形条件，可建立力法方程,拱是曲杆，系数d11和自由项D1P只能用积分法计算。一般可略去剪力的影响，而轴力的影响仅在扁平拱（拱高fl/5）的情况下计算d11式中予以考虑，即,MP=M 0,(a),将以上、和MP表达式代入式（a),故多余未知力X1（即水平推力）为,(b),水平推力求出后，对在竖向荷载作用下的两脚等高的两铰拱的内力计算公式与三铰拱完全相同。两铰拱上任一截面的内力为,(c),带拉杆的两铰拱，用拉杆来承受水平推力，用力法计算时，一般将拉杆切断，计算方法与上述基本一致，不同之处仅在于在计算系数d11时多了拉杆AB的轴向变形量，即,自由项D1P计算式相同，仍为,【例】试用力法计算图示两铰拱的水平推力FH。设拱的截面尺寸为常数。以左支座为原点，拱轴方程为,计算时，采用两个简化假设：,第一，忽略轴向变形，只考虑弯曲变形；,第二，当拱比较平时（例如fl/5），可近似地取ds=dx，cosj=1。因此，位移的公式简化为,A,B,C,M图,ql2/64,ql2/64,右半跨,左半跨,由力法方程，求得,FH求出后，利用公式，可作出M图如图所示。本例的这个弯矩图与三铰拱的弯矩图相同。,这个结果与三铰拱在半跨均布荷载作用下的结果是一样的。这不是一个普遍性结论。但是，在一般荷载作用下，两铰拱的推力与三铰拱的推力是比较接近的。,8 支座移动和温度改变时的计算,对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称为自内力。,用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点：,第一，力法方程中的自由项不同。这里的自由项，不再是荷载引起的DiP，而是由支座移动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上的位移Dic或Dit等。,第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di0，而是Di=Ci（Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移）,第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。由于基本结构（是静定结构）上支座移动、温度变化时均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最后弯矩叠加公式为,一、支座移动时的内力计算,计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法方程中第 i个方程的一般形式可写为,dij为柔度系数,Ci，表示原结构在Xi方向的实际位移,Dic，表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移,【例】图示单跨超静定梁AB，已知EI为常数，左端支座转动角度为q，右端支座下沉位移为a，试求在梁中引起的自内力。,(1)第一种解法:,此梁为一次超静定，以下分别采用三种基本体系求解。,取支座B的竖向反力为多余未知力X1，其力法方程为,其中,得,由此求得,弯矩叠加公式为：,(2)第二种解法,取支座A的反力偶作为多余未知力X1，其力法方程为,其中,力法方程,与第一种解法所作M图完全相同。,(3)第三种解法,将梁AB中点截面C改为铰结，取该截面上的弯矩作为多余未知力X1，其力法典型方程为,其中,力法方程为,由此可得,以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程：,第一种解法,第二种解法,第三种解法,一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座位移参数都出现在左边的自由项中。,(5)特例,1）若a=0，则原体系如图示，相应的M图如图所示。A 点的,若引入符号,称为杆件的线刚度则,2）若q=0，并令DAB=a，则原体系与相应的 M图如下图所示。A点的，若再引入符号,称为杆AB的弦转角，则,(6)上述计算结果表明：在支座位移时，超静定结构将产生内力和反力，其内力和反力与各杆件刚度的绝对值成正比。,二、温度变化时的内力计算,在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个方程的一般形式为,式中，Dit表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向的位移；Di表示原结构沿Xi方向的位移（在温度变化问题中，一般D i=0）。,例】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆截面为矩形，高度h=l/10，线膨胀系数为a。设EI=常数,解:此结构为一次超静定刚架，取基本体系如图所示。力法方程为,AB段t0=0,BC段t0=2.5,CD段t0=10,AB段Dt=30BC段Dt=25CD段Dt=10,分别作 图和 图,代入典型方程，可得,(),最后弯矩图，如图所示。,由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降温可能出现裂缝的情况（对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高温一侧受压）。,在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平均温度变化t0而引起的杆长变化量a t0l，代之以杆件制作长度的误差或材料的收缩量Dl，亦即将温度变化时的自由项计算公式,代之以杆件制作误差（或材料收缩与徐变）时的自由项计算公式,可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起的结构的自内力有很大的影响。,杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。,9超静定结构的位移计算,单位荷载法，不仅可以用于求解静定结构的位移，也同样适用于求解超静定结构的位移，区别仅在于内力需按计算超静定结构方法求出。,一、荷载作用下超静定结构的位移计算,解法一,思路：利用静定的基本结构来求原结构的位移。,只需在任意选取的静定基本结构上建立虚拟力状态，并求出单位荷载作用下的单位弯矩图图，即可利用位移计算公式或图乘法计算出C点的竖向位移。,解法二,三种解法计算结果相同,由于基本结构是静定的，在单位荷载作用下的内力易求出，因而位移计算就更为简捷。,解法三,超静定结构,计算超静定结构位移的基本思路:利用基本体系求原结构的位移.,计算超静定结构位移的步骤,将计算出的多余未知力作为外荷载,1、解超静定结构,作超静定结构的最终内力图；2、取原结构的任一基本结构作为虚拟状态，并作虚拟力状态下的单位内力图；3、计算位移。,在荷载作用下，位移计算公式为：,超静定梁和刚架,桁架,【例】试求图示刚架CB杆D点的竖向位移DDV。,解：(1)作原超静定结构的最后弯矩图,(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图,(3)用图乘法求位移,当取基本结构一或二时,二、支座移动时超静定结构的位移计算,位移计算公式为,式中，M为超静定结构的最后弯矩图；和 分别为原结构的任一基本结构由于虚拟单位荷载作用产生的单位弯矩和单位反力。,(3)计算位移：,(2)作虚拟力状态下的单位弯矩图,【例】试计算图示超静定梁在支座移动时B点的转角qB。,解：(1)作原超静定梁 的 最后弯矩图,三、温度变化时超静定结构的位移计算,超静定结构在温度变化时的位移计算，同样可以在其任一相应的静定基本结构上建立虚拟力状态，从而将问题转化为静定基本结构由于多余未知力和温度变化共同作用产生的位移计算。其位移公式为,式中，M为超静定结构的最后弯矩图；和 为原结构的任一基本结构由于虚拟单位荷载作用产生的单位弯矩和单位轴力。,四、综合因素影响下的位移计算,在荷载及非荷载等因素综合影响下，其位移计算公式为,式中，、和 分别为超静定结构在全部因素影响下的最后弯矩、轴力和剪力；、和 分别为原结构的任一基本结构由于虚拟单位荷载作用产生的单位弯矩、单位轴力、单位剪力和单位支反力。,静定结构,超静定结构,荷载作用,支座移动,温度改变,内力,变形,位移,内力,变形,位 移,由平衡条件求,不产生内力,不产生变形,综合考虑平衡条件和变形连续条件来求,M=EI,N=EA,kQ=GA,t0,M=EI,=,t h,=,t h,M=EI,N=EA,M=EI,N=EA,kQ=GA,静定结构和超静定结构在各种因素作用下的位移计算公式一览表,10超静定结构内力图的校核,一、利用平衡条件校核（必要条件）,有必要指出，多余未知力的求得是根据变形条件，而不是根据力的平衡条件，即使多余未知力求错了，而据此绘出的内力图也可以是平衡的。因此，平衡条件的校核仅仅是必要条件。,二、根据已知变形条件校核（充分条件）,在超静定结构符合平衡条件的各种解答中，唯一正确的解答必须满足原结构的变形条件。只有通过变形条件的校核，超静定结构内力解答的正确性才是充分的。这是校核的重点所在。,实用上，常采用以下方法进行变形条件校核：根据已求得的最后弯矩图，计算原结构某一截面的位移，校核它是否与实际的已知的变形情况相符（一般常选取广义位移为零或为已知值处）。若相符，表明满足变形条件；若不相符，则表明多余未知力计算有误。,解：(1)校核平衡条件,1）AB杆,取出AB杆和BC杆为隔离体，绘出受力图，校核该两杆是否满足平衡条件。,2）BC杆,以上都满足平衡条件。,(2)变形条件校核,现计算和校核C支座的角位移是否为零。选取基本结构，并作虚拟力状态下的单位弯矩图。将结构的最后弯矩图与单位弯矩图相乘，可得,满足变形条件，故最后弯矩图正确无误。,M图,【例】试校核如图示封闭刚架的最后弯矩图的正确性。,解：对于这类具有封闭周界刚架的特例，最好利用封闭周界上某一截面（如该图中C截面）的相对转角等于零的已知变形条件进行校核。,EI,EI,4EI,C截面切口两侧的相对转角应为,因 图中，各杆的 值均等于1，故有,EI,EI,4EI,这表明：沿任一无铰的封闭刚架，M图的总面积的代数和等于零。,小 结,1.力法分析超静定结构的基本原理是把超静定问题化为静定问题求解；,4.利用对称性：对称结构在对称荷载作用下变形，反力和M图、N图正对称，Q图反对称；在反对称荷载作用下变形，反力和M图、N图反对称，Q图正对称。可用半结构法简化计算。,3.与多余约束相应的多余未知力是力法的基本未知量；,2.力法的基本结构是将原结构解除多余约束后所得的静定结构,几何可变或瞬变体系都不能作为基本结构；,