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电路理论,华中科技大学电气与电子工程学院何仁平,2010年9月,第三章 线性网络的分析方法,目 录,3.1 支路电流法和支路电压法3.2 网孔分析法3.3 节点分析法3.4 网络拓扑的概念3.5 割集分析法3.6 电路的计算机辅助分析法,第三章 线性网络的分析方法,掌握支路电流法 和支路电压法,重点掌握网孔（电流）分析法,重点掌握节点（电压）分析法,了解网络拓扑的基本概念,目的：找出一般(对任何线性电路均适用)的求解线性网络的 系统方法(易于计算机编程序求解)。,对象：含独立源、受控源的电阻网络的直流稳态解。,应用：主要用于复杂的线性电路的求解。,复杂电路的分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路法、网孔分析法和节点分析法。,基础：,特点：不改变电路的结构，直接根据已知电路列写议程。,对于简单电路，通过串、并联关系即可求解。如：,对于复杂电路（如下图）仅通过串、并联无法求解，必须经过一定的解题方法，才能算出结果。,如：,3.1 支路电流法(branch current method),未知数：各支路电流。,解题思路：根据KCL、KVL定律，列节点电流和回路电压方程，然后联立求解。,解题步骤：,1.对每一支路假设一未 知电流（I1-I6）,4.解联立方程组,例1,节点数 N=4支路数 B=6,节点a：,列电流方程,节点c：,节点b：,节点d：,（取其中三个方程）,b,a,c,d,列电压方程,是否能少列一个方程?,N=4 B=6,例2,电流方程,支路电流未知数少一个：I3已知,支路中含有理想电流源的情况,N=4 B=6,电压方程：,支路电流法小结,1.电流正方向可任意假设。,根据未知数的正负决定电流的实际方向。,若电路有N个节点，,2.独立回路的选择：,一般按网孔选择,支路电流法的优缺点,优点：支路电流法是电路分析中最基本的方法之一。只要根据KCL、KVL定律、欧 姆定律列方程，就能得出结果。,缺点：电路中支路数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。,支路数 B=4须列4个方程式,例1.,节点a：I1I2+I3=0,(1)n1=1个KCL方程：,US1=130V,US2=117V,R1=1,R2=0.6,R3=24.,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2)b(n1)=2个KVL方程：,R2I2+R3I3=US2,U=US,R1I1R2I2=US1US2,0.6I2+24I3=117,I10.6I2=130117=13,(3)联立求解,(4)功率分析,PU S1发=US1I1=13010=1300 W,PU S2发=US2I2=117(5)=585 W,验证功率守恒：,PR 1吸=R1I12=100 W,PR 2吸=R2I22=15 W,PR 3吸=R3I32=600 W,P发=P吸,例2.,列写如图电路的支路电流方程(含理想电流源支路)。,b=5,n=3,KCL方程：,-i1-i2+i3=0(1)-i3+i4-i5=0(2),R1 i1-R2i2=uS(3)R2 i2+R3i3+R4 i4=0(4)-R4 i4+u=0(5)i5=iS(6),KVL方程：,*理想电流源的处理：由于i5=iS，所以在选择独立回路时，可不选含此支路的回路。对此例，可不选回路3，即去掉方程(5)，而只列(1)(4)及(6)。,解,3.2 网孔分析法,基本思想：,为减少未知量(方程)的个数，可以假想每个回路中有一个回路电流。若回路电流已求得，则各支路电流可用回路电流线性组合表示。这样即可求得电路的解。,回路电流是在独立回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，只需对独立回路列写KVL方程。,b=3，n=2。独立回路为l=b-(n-1)=2。选图示的两个独立回路，回路电流分别为il1、il2。支路电流i1=il1，i2=il2-il1，i3=il2。,回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，回路电流法的独立方程数为b-(n-1)。与支路电流法相比，方程数可减少n-1个。,回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0,回路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0,整理得，,(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2,-R2il1+(R2+R3)il2=uS2,电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取“-”。,R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。,令,R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。,自电阻总为正。,R12=R21=R2 回路1、回路2之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,ul1=uS1-uS2 回路1中所有电压源电压的代数和。,ul2=uS2 回路2中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向与该回路方向一致时，取负号；反之取正号。,由此得标准形式的方程：,一般情况，对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有,其中,Rkk:自电阻(为正)，k=1,2,l(绕行方向取参考方向)。,Rjk:互电阻,+:流过互阻两个回路电流方向相同,-:流过互阻两个回路电流方向相反,0:无关,这样，我们可以按照所归纳的规律，直接列写出任意电路的回路方程，故又称为观察法。,回路法的一般步骤：,(1)选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；,(2)对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；,(3)求解上述方程，得到l个回路电流；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用回路电流表示)；,网孔电流法：对平面电路，若以网孔为独立回路，此时回路电流也称为网孔电流，对应的分析方法称为网孔电流法。,例1.,用回路法求各支路电流。,解：,(1)设独立回路电流(顺时针),(2)列 KVL 方程,对称阵，且互电阻为负,(3)求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic,(4)求各支路电流：I1=Ia,I2=Ib-Ia,I3=Ic-Ib,I4=-Ic,(5)校核：,选一新回路。,将看VCVS作独立源建立方程；,找出控制量和回路电流关系。,校核:,1I1+2I3+2I5=2,(UR 降=E升),例2.,用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。,解：,将代入，得,各支路电流为：,I1=Ia=1.19A,I2=Ia-Ib=0.27A,I3=Ib=0.92A,I4=Ib-Ic=1.43A,I5=Ic=0.52A.,*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,U2=3（Ia Ib）,例3.,列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。,方法1：引入电流源电压为变量，增加回路电流和 电流源电流的关系方程。,方法2：选取独立回路时，使理想电流源支路仅仅 属于一个回路,该回路电流即 IS。,例 试用网孔分析法求图示网络中通过R的电流iR,解 用视察法可得网孔矩阵方程,解得 iR=I2=-4880/5104=-0.956A,(1)对含有并联电阻的电流源，可做电源等效变换：,(2)对含有受控电流源支路的电路，可先按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。,说明：,3.3 节点电压法(node voltage method),回路电流法自动满足 KCL。能否像回路电流法一样，假定一组变量，使之自动满足 KVL，从而就不必列写KVL方程，减少联立方程的个数？KVL恰说明了电位的单值性。如果选节点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL 方程。当以节点电压为未知量列电路方程、求出节点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。,基本思想(思考)：,任意选择参考点：其它节点与参考点的电压差即是节点电压(位)，方向为从独立节点指向参考节点。,(uA-uB)+uB-uA=0,KVL自动满足,节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。,可见，节点电压法的独立方程数为(n-1)个。与支路电流法相比，方程数可减少b-(n-1）个。,举例说明：,(2)列KCL方程：,iR出=iS入,i1+i2+i3+i4=iS1-iS2+iS3,-i3-i4+i5=-iS3,un1,un2,(1)选定参考节点，标明其余n-1个独立节点的电压,代入支路特性（将支路电流用节点电压表示）：,整理，得,令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5,上式简记为,G11un1+G12un2=iSn1,G21un1+G12un2=iSn2,其中,G11=G1+G2+G3+G4节点1的自电导，等于接在节点1上所有支路的电导之和。,G22=G3+G4+G5 节点2的自电导，等于接在节点2上所有支路的电导之和。,G12=G21=-(G3+G4)节点1与节点2之间的互电导，等于接在节点1与节点2之间的所有支路的电导之和，并冠以负号。,iSn1=iS1-iS2+iS3流入节点1的电流源电流的代数和。,iSn2=-iS3 流入节点2的电流源电流的代数和。,*自电导总为正，互电导总为负。,*流入节点取正号，流出取负号。,由节点电压方程求得各支路电压后，各支路电流可用节点电压表示：,若电路中含电压源与电阻串联的支路：,uS1,整理，并记Gk=1/Rk，得,一般情况：,其中,Gii 自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,*当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。且有些结论也将不再成立。,iSni 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij=Gji互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,节点法的一般步骤：,(1)选定参考节点，标定n-1个独立节点；,(2)对n-1个独立节点，以节点电压为未知量，列写其KCL方程；,(3)求解上述方程，得到n-1个节点电压；,(5)其它分析。,(4)求各支路电流(用节点电压表示)；,例 试列出右图所示电路的节点方程。,解 图示电路含有受控电源，应用视察法列写节点方程，可先将受控电源当作独立电源处理，然后用节点电压来表示受控电源的控制量。电路方程为,用节点电压表示受控源的控制变量：v2=vn1-vn2,用节点法求各支路电流。,*也可先进行电源变换。,例2.,(1)列节点电压方程：,UA=21.8V，UB=-21.82V,I1=(120-UA)/20k=4.91mA,I2=(UA-UB)/10k=4.36mA,I3=(UB+240)/40k=5.45mA,I4=UB/40=0.546mA,I5=UB/20=-1.09mA,(2)解方程，得：,(3)各支路电流：,例 应用节点分析法确定右图所示电路中由电源流出的电流。,解 用视察法列出所示电路的节点方程为,由电源流出的电流为,解方程组得 vn1=11.30 V vn2=-22.32 V,试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个节点电压与电压源间的关系,方法2：选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2+I=0,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0,-G4U2+(G4+G5)U3-I=0,U1-U3=US,U1=US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,例3.,支路法、回路法和节点法的比较：,(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。,(3)回路法、节点法易于编程。目前用计算机分析网络(电网，集成电路设计等)采用节点法较多。,(1)方程数的比较,*3.4 网络拓扑的概念,一.图的基本概念,线图,有向图,1.图(Graph),G=支路，节点,2.子图,路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。,二.回路、树、割集,1.回路(Loop),L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通(2)每个节点关联支路数恰好为2。,回路,不是回路,3.连通图,图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,树,树支：属于树的支路,连支：属于G而不属于T的支路,树支数bT=n-1,连支数bl=b-(n-1),2.树(Tree),T是连通图的一个子图满足下列条件：,(1)连通(2)包含所有节点(3)不含回路,基本回路(单连支回路),基本回路数=连支数=b-(n-1),3.割集Q(Cut set),Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质：(1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。(2)任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。,2,4,5,6,2,2,3,6,1,3,5,6是否割集？,1,3,1,2,5,3,6,4,7,8,1,2,3,4是否割集？,找割集方法：作封闭曲面,1,3,5,6为割集,2,3,6为割集,连支集合不能构成割集,基本割集(单树支割集),基本割集数=(n-1),2,4,5,6为割集,3.6 电路的计算机辅助分析法,关联矩阵A,用矩阵形式描述节点和支路的关联性质,aij=1 有向支路 j 背离 i 节点,aij=-1 有向支路 j 指向 i 节点,aij=0 i节点与 j 支路无关,关联矩阵,Aa=aijn b,1 0 0-1 0 1,-1-1 0 0 1 0,0 1 1 0 0-1,0 0-1 1-1 0,设为参考节点,称A为降阶关联矩阵(n-1)b，表征独立节点与支路的关联性质,1-1 0 0,0-1 1 0,0 0 1-1,-1 0 0 1,0 1 0-1,1 0-1 0,设:,支路电压,支路电流,节点电压,矩阵形式的KCL,Ai=,A i=0,矩阵形式KVL,