电磁场与电磁波复习.ppt

1,第1章 矢量分析1.3 标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流与旋度1.6 无旋场与无散场1.8 亥姆霍兹定理,2,梯度的表达式：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,3.标量场的梯度（或）,意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向。,概念：，其中 取得最大值的方向,3,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,4,3.矢量场的散度,为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：,称为矢量场的散度。,散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与闭合小曲面所包围体积元之比的极限。,5,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,散度的表达式：,6,4.散度定理,从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,7,旋度的计算公式:,8,3.斯托克斯定理,斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。,从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即,9,2.矢量场按源的分类,（1）无旋场,性质：，线积分与路径无关，是保守场。,仅有散度源而无旋度源的矢量场，,无旋场可以用标量场的梯度表示为,例如：静电场,10,（2）无散场,仅有旋度源而无散度源的矢量场，即,性质：,无散场可以表示为另一个矢量场的旋度,例如，恒定磁场,11,亥姆霍兹定理:,若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为,式中：,亥姆霍兹定理表明：在无界空间区域，矢量场可由其散度及旋度确定。,1.8 亥姆霍兹定理,12,2.1 电荷守恒定律2.2 真空中静电场的基本规律2.3 真空中恒定磁场的基本规律2.4 媒质的电磁特性2.5 电磁感应定律和位移电流2.6 麦克斯韦方程组2.7 电磁场的边界条件,第2章 电磁场的基本规律,13,2.1 电荷守恒定律,电磁场物理模型中的基本物理量可分为源量和场量两大类。,源量为电荷 和电流，分别用来描述产生电磁效应的两类场源。电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。,14,2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程）,电荷守恒定律:电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体 的一部分转移到另一部分，或者从一个物体转移 到另一个物体。,电流连续性方程,积分形式,微分形式,流出闭曲面S 的电流等于体积V 内单位时间所减少的电荷量。,恒定电流的连续性方程,恒定电流是无源场，电流线是连续的闭合曲线，既无起点也无终点。,电荷守恒定律是电磁现象中的基本定律之一。,15,2.2 真空中静电场的基本规律,静电场：由静止电荷产生的电场。,重要特征：对位于电场中的电荷有电场力作用。,本节内容 2.2.1 库仑定律 电场强度 2.2.2 静电场的散度与旋度,16,1.库仑（Coulomb）定律(1785年),真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:,，满足牛顿第三定律。,大小与两电荷的电荷量成正比，与两电荷距离的平方成反比；,2.2.1 库仑定律 电场强度,方向沿q1 和q2 连线方向，同性电荷相排斥，异性电荷相吸引；,17,2.电场强度,空间某点的电场强度定义为置于该点的单位点电荷（又称试验电荷）受到的作用力，即,如果电荷是连续分布呢？,根据上述定义，真空中静止点电荷q 激发的电场为,描述电场分布的基本物理量,电场强度矢量,试验正电荷,18,电偶极矩,电偶极子是由相距很近、带等值异号的两个点电荷组成的电荷系统，其远区电场强度为,19,2.2.2 静电场的散度与旋度,高斯定理表明：静电场是有源场，电力线起始于正电荷，终止 于负电荷。,静电场的散度（微分形式）,1.静电场散度与高斯定理,静电场的高斯定理（积分形式）,环路定理表明：静电场是无旋场，是保守场，电场力做功与路径 无关。,静电场的旋度（微分形式）,2.静电场旋度与环路定理,静电场的环路定理（积分形式）,20,在电场分布具有一定对称性的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度。,3.利用高斯定理计算电场强度,具有以下几种对称性的场可用高斯定理求解：,球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。,带电球壳,多层同心球壳,21,无限大平面电荷：如无限大的均匀带电平面、平板等。,轴对称分布：如无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。,22,例 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为a，电 荷密度为 0。,解：（1）球外某点的场强,（2）求球体内一点的场强,由,由,23,2.3 真空中恒定磁场的基本规律,本节内容 2.3.1 安培力定律 磁感应强度 2.3.2 恒定磁场的散度与旋度,24,2.磁感应强度,电流在其周围空间中产生磁场，描述磁场分布的基本物理量是磁感应强度，单位为T（特斯拉）。,磁场的重要特征是对场中的电流有磁场力作用，载流回路C1对载流回路 C2 的作用力是回路 C1中的电流 I1 产生的磁场对回路 C2中的电流 I2 的作用力。,根据安培力定律，有,其中,25,2.3.2 恒定磁场的散度和旋度,1.恒定磁场的散度与磁通连续性原理,磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁感应线是无起点和 终点的闭合曲线。,恒定磁场的散度（微分形式）,磁通连续性原理（积分形式）,安培环路定理表明：恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁 场的旋涡源。,恒定磁场的旋度（微分形式）,2.恒定磁场的旋度与安培环路定理,安培环路定理（积分形式）,26,解：分析场的分布，取安培环路如图，则,根据对称性，有，故,在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路定理计算磁感应强度。,3.利用安培环路定理计算磁感应强度,例2.3.2 求电流面密度为 的无限大电流薄板产生的磁感应强度。,27,解 选用圆柱坐标系，则,应用安培环路定理，得,例 求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,取安培环路，交链的电流为,28,应用安培环路定理，得,29,2.4 媒质的电磁特性,本节内容 2.4.1 电介质的极化 电位移矢量 2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度 2.4.3 媒质的传导特性,媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。,描述媒质电磁特性的参数为：介电常数、磁导率和电导率。,30,4.电位移矢量 介质中的高斯定理,介质的极化过程包括两个方面：外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状 态。无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服 从同样的库仑定律和高斯定理。,小结：静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为,（微分形式），,（积分形式）,31,介质中的安培环路定理为：,磁通连续性原理为,小结：恒定磁场是有旋无散场，磁介质中的基本方程为,（积分形式）,（微分形式）,32,2.5 电磁感应定律和位移电流,本节内容 2.5.1 电磁感应定律 2.5.2 位移电流,电磁感应定律 揭示时变磁场产生电场。,位移电流 揭示时变电场产生磁场。,重要结论：在时变情况下，电场与磁场相互激励，形成统一 的电磁场。,33,全电流定律：,微分形式,积分形式,全电流定律揭示不仅传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发电场形成自然界的一个对偶关系。,34,2.位移电流密度,电位移矢量随时间的变化率，能像电流一样产生磁场，故称“位移电流”。,注：在绝缘介质中，无传导电流，但有位移电流。在理想导体中，无位移电流，但有传导电流。在一般介质中，既有传导电流，又有位移电流。,位移电流只表示电场的变化率，与传导电流不同，它不产生热效应。,位移电流的引入是建立麦克斯韦方程组的至关重要的一步，它揭示了时变电场产生磁场这一重要的物理概念。,35,例 海水的电导率为4 S/m，相对介电常数为 81，求频率为1 MHz 时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。,解：设电场随时间作正弦变化，表示为,则位移电流密度为,其振幅值为,传导电流的振幅值为,故,36,例 2.5.5 铜的电导率、相对介电常数。设铜中的传导电流密度为。试证明：在无线电频率范围内，铜中的位移电流与传导电流相比是可以忽略的。,而传导电流密度的振幅值为,通常所说的无线电频率是指 f=300 MHz以下的频率范围，即使扩展到极高频段（f=30300 GHz），从上面的关系式看出比值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。,解：铜中存在时变电磁场时，位移电流密度为,位移电流密度的振幅值为,37,2.6 麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组 宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电 磁场的基本方程。,本节内容 2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式 2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式 2.6.3 媒质的本构关系,38,2.6.1 麦克斯韦方程组的积分形式,39,2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式,40,2.6.3 媒质的本构关系,代入麦克斯韦方程组中，有,各向同性线性媒质的本构关系为,41,边界条件一般表达式,42,两种理想介质分界面上的边界条件,2.7.2 两种常见的情况,在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS0、S0，故,43,2.理想导体表面上的边界条件,理想导体表面上的边界条件 设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故,理想导体：电导率为无限大的导电媒质。,特征：电磁场不可能进入理想导体内。,44,第3章 静态电磁场及其边值问题的解 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法,静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场,时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场。静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立。,45,由,即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。,1.电位函数的定义,电位函数,46,2.电位的表达式,对于连续的体分布电荷，由,同理得，面电荷的电位：,故得,点电荷的电位：,线电荷的电位：,47,静电位不惟一，可以相差一个常数，即,选参考点,令参考点电位为零,电位确定值(电位差),两点间电位差有定值,选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。,4.电位参考点,为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即,48,在均匀介质中，有,5.电位的微分方程,在无源区域，,49,(1)假定两导体上分别带电荷+q 和q；,计算电容的方法一：,(4)求比值，即得出所求电容。,(3)由，求出两导体间的电位差；,(2)计算两导体间的电场强度E；,计算电容的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；,(4)由 得到;,(2)计算两电极间的电位分布；,(3)由 得到E;,(5)由，求出导体的电荷q；,(6)求比值，即得出所求电容。,50,解：设内导体的电荷为q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场,同心导体间的电压,球形电容器的电容,当 时，,例 同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为的均匀介质。求此球形电容器的电容。,51,例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D a，求传输线单位长度的电容。,解 设两导线单位长度带电量分别为 和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为,两导线间的电位差,故单位长度的电容为,52,例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。,内外导体间的电位差,解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为,故得同轴线单位长度的电容为,53,2.部分电容,在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的 概念加以推广，引入部分电容的概念。所谓部分电容，是指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。,在由(N+1)个导体组成的系统中，共有 个部分电容。,54,2.电场能量密度,从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。,电场能量密度：,电场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,55,例 半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。,解：方法一，利用 计算,根据高斯定理求得电场强度,故,56,方法二：利用 计算,先求出电位分布,故,57,3.2.2 恒定电场与静电场的比拟,如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。,58,恒定电场与静电场的比拟,基本方程,静电场（区域）,本构关系,位函数,边界条件,恒定电场（电源外）,59,例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1 和 2、2，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。,解：极板是理想导体，为等位面，电流沿z 方向。,60,工程上，常在电容器两极板之间、同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流 J 存在。,漏电流与电压之比为漏电导，即,其倒数称为绝缘电阻，即,3.2.3 漏电导,61,(1)假定两电极间的电流为I；计算两电极间的电流密度 矢量J；由J=E 得到 E;由，求出两导 体间的电位差；(5)求比值，即得出 所求电导。,计算电导的方法一：,计算电导的方法二：,(1)假定两电极间的电位差为U；(2)计算两电极间的电位分布；(3)由 得到E;(4)由 J=E 得到J;(5)由，求出两导体间 电流；(6)求比值，即得出所 求电导。,计算电导的方法三：,静电比拟法：,62,例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为l，其间媒质的电导率为、介电常数为。,解：直接用恒定电场的计算方法,电导,绝缘电阻,设由内导体流向外导体的电流为I。,63,本节内容 3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位 电感 恒定磁场的能量 磁场力,3.3 恒定磁场分析,64,设回路 C 中的电流为I，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为，则磁链 与回路 C 中的电流 I 有正比关系，其比值,称为回路 C 的自感系数，简称自感。,外自感,2.自感,内自感；,粗导体回路的自感：L=Li+Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。,自感的特点：,65,解：先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I，由安培环路定理,穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS=d的磁通为,例 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。,得,与di 交链的电流为,则与di 相应的磁链为,66,因此内导体中总的内磁链为,故单位长度的内自感为,再求内、外导体间的外自感。,则,故单位长度的外自感为,单位长度的总自感为,67,例 计算平行双线传输线单位长度的自感。设导线的半径为a，两导线的间距为D，且 D a。导线及周围媒质的磁导率为0。,穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为,解 设两导线流过的电流为I。由于D a，故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为,68,于是得到平行双线传输线单位长度的外自感,两根导线单位长度的内自感为,故得到平行双线传输线单位长度的自感为,69,对两个彼此邻近的闭合回路C1 和回路 C2，当回路 C1 中通过电流 I1 时，不仅与回路 C1 交链的磁链与I1 成正比，而且与回路 C2 交链的磁链21 也与 I1 成正比，其比例系数,称为回路 C1 对回路 C2 的互感系数，简称互感。,3.互感,同理，回路 C2 对回路 C1 的互感为,70,互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对位置以及周围 磁介质有关，而与电流无关。,满足互易关系，即M12=M21,当与回路交链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时，互 感系数 M 为正值；反之，则互感系数 M 为负值。,互感的特点：,71,由图中可知,穿过三角形回路面积的磁通为,解 设长直导线中的电流为I，根据安培环路定理，得到,例 如图所示，长直导线与三角形导体回路共面，求它们之间的互感。,72,因此,故长直导线与三角形导体回路的互感为,73,2.磁场能量密度,从场的观点来看，磁场能量分布于磁场所在的整个空间。,磁场能量密度：,磁场的总能量：,对于线性、各向同性介质，则有,74,例 同轴电缆的内导体半径为a，外导体的内、外半径分别为 b 和 c，如图所示。导体中通有电流 I，试求同轴电缆中单位长度储存的磁场能量与自感。,解：由安培环路定理，得,75,三个区域单位长度内的磁场能量分别为,76,单位长度内总的磁场能量为,单位长度的总自感,77,3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理,本节内容 3.4.1 边值问题的类型 3.4.2 惟一性定理,边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程。,78,3.4.1 边值问题的类型,已知场域边界面S 上的位函数值，即,第一类边值问题（或狄里赫利问题）,已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即,已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界面S2 上则已知位函数的法向导数值，即,第三类边值问题（或混合边值问题）,第二类边值问题（或纽曼问题）,79,自然边界条件（无界空间）,周期边界条件,衔接条件,不同媒质分界面上的边界条件，如,80,例：,（第一类边值问题）,（第三类边值问题）,例：,81,像电荷的个数、位置及其电荷量大小“三要素”。,4.镜像法应用的关键点,5.确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须位于所求解的场域以外的空间中。,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域的边界条件来确定。,82,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像,满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。,3.5.1 接地导体平面的镜像,镜像电荷,电位函数,因 z=0 时，,有效区域,83,3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1,d2)处。,显然，q1 对平面 2 以及 q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1,d2),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于(d1,d2),只有在(d1,d2)处再设置一镜像电荷q3=q，所有边界条件才能得到满足。,电位函数,84,例 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。,由镜像法，感应电荷可以用像电荷 替代。当电荷q 移至x时，像电荷 应位于x，则像电荷产生的电场强度,85,3.5.2 导体球面的镜像,1.点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q 应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径为a 的接地导体球外，距球心为d。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和 q。,问题：,86,令ra，由球面上电位为零，即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,条件：若,由于,87,将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量法解题的基本思路：,3.6.1 分离变量法解题的基本原理,88,例 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。,解：位函数满足的方程和边界条件为,因(0,y)0、(a,y)0，故位函数的通解应取为,89,第4章 时变电磁场 4.1 波动方程 4.2 电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理 4.5 时谐电磁场,90,4.1 波动方程,在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有,无源区的波动方程,波动方程 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。,麦克斯韦方程组 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。,问题的提出,91,引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。,引入位函数的意义,位函数的定义,92,除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即,在电磁理论中，通常采用洛仑兹条件，即,位函数的规范条件,造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以简化。,93,说明,若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点?,问题,应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于J，标 量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需 解出 就可得到待求的电场和磁场。,电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。,94,坡印廷定理的积分形式,物理意义：单位时间内，通过曲面S 进入体积V的电磁能量等于 体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。,95,定义：(W/m2),物理意义：,的方向 电磁能量传输的方向,的大小 通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率,描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量。,坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）,96,时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,利用三角公式,式中的A0为振幅、为与坐标有关的相位因子。,时谐电磁场的复数表示,97,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场。,照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,真实场是复数式的实部，即瞬时表达式。,由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示复矢量。,98,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程：,4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程,99,例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为,式中,解：（1）因为,故电场的复矢量,试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。,100,（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量,磁场强度瞬时值,101,损耗角正切,导电媒质导电性能的相对性,弱导电媒质和良绝缘体,一般导电媒质,良导体,工程上通常用损耗角正切来表示媒质的损耗特性，其定义为复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有,导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。,102,导电媒质,理想介质,4.5.4 亥姆霍兹方程,对于时谐电磁场，将、，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。,瞬时矢量,复矢量,103,解：（1）由得,（2）电场和磁场的瞬时值为,例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）平均坡印廷矢量。,104,（3）平均坡印廷矢量为,或直接积分，得,瞬时坡印廷矢量为,105,第5章 均匀平面波在无界空间中的传播5.1 理想介质中的均匀平面波5.2 电磁波的极化5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播5.4 色散与群速,106,由，可得,其中 称为媒质的本征阻抗。在真空中,相伴的磁场,结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。,107,1.均匀平面波的传播参数,周期T：时间相位变化 2的时间间隔，即,（1）角频率、频率和周期,角频率：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s。,频率 f：,5.1.2 理想介质中的均匀平面波的传播特点,108,（2）波长和相位常数,k 的大小等于空间距离2内所包含的波长数目，因此也称为波数。,波长：空间相位差为2 的两个波阵面的间距，即,相位常数 k：表示波传播单位距离的相位变化。,109,（3）相速（波速）,真空中：,由,相速v：电磁波的等相位面在空间 中的移动速度,故得到均匀平面波的相速为,110,2、能量密度与能流密度,故,111,3、理想介质中的均匀平面波的传播特点,电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）。,无衰减，电场与磁场的振幅不变。,波阻抗为实数，电场与磁场同相位。,电磁波的相速与频率无关，无色散。,电场能量密度等于磁场能量密度，能量的传输速度等于相速。,根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：,112,例 频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为r=2.26。若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。,解：由题意,因此,113,解：以余弦为基准，直接写出,例5.1.2 均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常数为30 rad/m 在空气中沿 方向传播。当t=0 和 z=0 时，若 取向为，试写出 和 的表示式，并求出频率和波长。,则,因 k=30 rad/m，则,114,5.2.1 极化的概念,波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性,是电磁理论中的一个重要概念。,在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。,波的极化,115,合成波极化的小结,线极化：0、。0，在1、3象限；，在2、4象限。,椭圆极化：其它情况。0，左旋；0，右旋。,圆极化：/2，ExmEym。取“”，左旋圆极化；取“”，右旋圆极化。,电磁波的极化状态取决于Ex 和 Ey 的振幅Exm、Eym 和相位差 yx,对于沿+z 方向传播的均匀平面波：,116,例 说明下列均匀平面波的极化方式。,(2),(3),(4),解：（1）,（2）,（3）,（4）,(1),117,导电媒质中的均匀平面波的传播特点：,电场强度 E、磁场强度 H 与波的传播方向相互垂直，是横 电磁波（TEM波）；,媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于 电场 角；,在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减；,波的传播速度（相速）不仅与媒质参数有关，而且与频率有 关（有色散）。,118,弱导电媒质：,5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波,弱导电媒质中的均匀平面波的特点：,相位常数和非导电媒质中的相位常数大致相等；,衰减小；,电场和磁场之间存在较小的相位差。,119,良导体：,5.3.3 良导体中的均匀平面波,良导体中的参数,波长：,相速：,120,趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减常数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面附近的区域，称为趋肤效应。,趋肤深度（）：电磁波进入良导体后，其振幅下降到表面处振幅的 1/e 时所传播的距离。即,本征阻抗,良导体中的电磁波的磁场强度的相位滞后于电场强度45o。,121,5.4 色散与群速,色散现象：相速随频率变化。,群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心 向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就 是群速。,单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的 正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。,电磁波的传播特性与介质参数(、和)有关，当这些参数和 传播常数随频率变化时，不同频率电磁波的传播特性就会有 所不同，这就是色散效应，这种媒质称为色散媒质。,122,无色散,正常色散,反常色散,群速vg：包络波的恒定相位点的推进速度,由,相速vp：载波的恒定相位点的推进速度,123,第6章 均匀平面波的反射与透射 6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射 6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射,124,定义分界面上的反射系数为反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比、透射系数为透射波电场的振幅与入射波电场振幅之比，则,讨论：,和 是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波 都不同。,若两种媒质均为理想介质，即1=2=0，则得到,若媒质2为理想导体，即2=，则，故有,125,6.1.2 对理想导体表面的垂直入射,媒质1为理想介质，10媒质2为理想导体，2,故,媒质1中的入射波：,媒质1中的反射波：,则,126,媒质1中合成波的电磁场为,合成波的平均能流密度矢量,瞬时值形式,理想导体表面上的感应电流,127,合成波的特点,(n=0,1,2,3,),(n=0,1,2,3,),媒质1中的合成波是驻波。电场振幅的最大值为2Eim，最小值为0；磁场振幅的最 大值为2Eim/1，最小值也 为0。,电场波节点（的最小值的位置）,电场波腹点（的最大值的位置）,128,平均坡印廷矢量的值为零，不 发生能量传输过程，仅在两个 波节间进行电场能量和磁场能 量的交换。,在时间上有/2 的相移。,在空间上错开/4，电 场的波腹（节）点正好是磁场 的波节（腹）点。,两相邻波节点之间任意两点 的电场同相。同一波节点两 侧的电场反相。,129,例 一均匀平面波沿+z 方向传播，其电场强度矢量为,解：(1)电场强度的复数表示,（1）求相伴的磁场强度；（2）若在传播方向上 z=0处，放置一无限大的理想导体板，求区域 z 0 中的电场强度 和磁场强度；（3）求理想导体板表面的电流密度。,则,130,写成瞬时表达式,(2)反射波的电场为,反射波的磁场为,131,在区域 z 0 的合成波电场和磁场分别为,(3)理想导体板表面的电流密度为,132,6.1.3 对理想介质分界面的垂直入射,设两种媒质均为理想介质，即 1=2=0,则,讨论,当2 1时，0，反射波电场与入射波电场同相。,当2 1时，0，反射波电场与入射波电场反相。,133,合成波的特点,这种由行波和纯驻波合成的波称为行驻波（混合波）,134,合成波电场振幅（0）,当1z=n，即 z=n1/2 时，有,当1z=(2n1)/2，即z=(n/2+1/4)1 时，有,135,合成波电场振幅（0）,当1z=n，即 z=n1/2 时，有,当1z=(2n1)/2，即z=(n/2+1/4)1 时，有,136,驻波系数 S 定义为驻波的电场强度振幅的最大值与最小值之比，即,驻波系数(驻波比)S,讨论,当0 时，S 1，为行波。,当1 时，S=，是纯驻波。,当 时，1 S，为混合波。S 越大，驻波分量 越大，行波分量越小；,137,例 在自由空间，一均匀平面波垂直入射到半无限大的无耗介质平面上，已知自由空间中，合成波的驻波比为3，介质内传输波的波长是自由空间波长的1/6，且分界面上为驻波电场的最小点。求介质的相对磁导率和相对介电常数。,解：因为驻波比,由于界面上是驻波电场的最小点，故,又因为2区的波长,而反射系数,式中,138,例6.1.3 入射波电场，从空气（z 0区域中，r=1、r=4。求区域 z 0的电场和磁场。,解：z 0 区域的本征阻抗,透射系数,139,相位常数,故,140,在计算多层媒质的第一个分界面上的总反射系数时，引入等效波阻抗概念可以简化求解过程。,则媒质中任一点的波阻抗为,定义媒质中任一点的合成波电场与合成波磁场之比为该点的波阻抗，即,在z0 处，有,由此可见，即为媒质中z0 处的波阻抗。,141,设两种理想介质的波阻抗分别为1 与2，为了消除分界面的反射，可在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长（该波长是指平面波在夹层中的波长）的理想介质夹层，如图所示。,首先求出第一个分界面上的等效波阻抗。考虑到,为了消除反射，必须要求，那么由上式得,6.2.2 四分之一波长匹配层,142,同时，,6.2.3 半波长介质窗,如果介质1和介质3是相同的介质，即，当介质2的厚度 时，有,由此得到介质1与介质2的分界面上的反射系数,结论：电磁波可以无损耗地通过厚度为 的介质层。因此，这 种厚度 的介质层又称为半波长介质窗。,143,第7章 导行电磁波 7.1 导行电磁波概论 7.2 矩形波导 7.5 谐振腔 7.6 传输线,144,如果 Ez=0，Hz=0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解；如果 Ez 0，Hz=0，传播方向只有电场分量，磁场在横截面内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波；如果 Ez=0，Hz 0，传播方向只有磁场分量，电场在横截面内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。,145,根据亥姆霍兹方程,故场分量满足的方程,横向场方程,纵向场方程,电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向场方程。,2.场方程,146,7.2.1 矩形波导中的场分布,对于TM 波，Hz=0，波导内的电磁场由Ez 确定,边界条件,1.矩形波导中TM 波的场分布,方程,结构：如图所示，a 宽边尺寸、b 窄边尺寸,特点：可以传播TM 波和TE波，不能传播TEM波。,利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。,147,设 Ez 具有分离变量形式，即,代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值问题，即,两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数:,故,148,7.2.2 矩形波导中波的传播特性,在矩形波导中，TEmn 波和TMmn 波的场矢量均可表示为,其中：,矩形波导中的TEmn 波和TMmn 波的传播特性与电磁波的波数k 和截止波数kcmn 有关。,波阻抗,当 kcmn k 时，mn为实数，为衰减因子 相应模式的波不能在矩形波导中传播。,149,截止频率：,截止波长：,截止角频率：,相应模式的波也不能在矩形波导中传播。,当 kcmn=k 时，mn=0，,结论：在矩形波导中，TE10模的截止频率最低、截止波长最 长。,150,波导波长,相位常数,相速,相应模式的波能在矩形波导中传播。,当 kcmn k 时，,传播参数,151,波阻抗,结论：,当工作频率 f 大于截止频率fcmn 时，矩形波导中可以传播相应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波；,当工作频率 f 小于或等于截止频率fcmn时，矩形波导中不能传播相应的TEmn 模式和TMmn 模式的电磁波。,152,7.2.3 矩形波导中的主模,若b a 2b，TE01 模为第一个高次模,若a 2b，TE20 模为第一个高次模,TE10 模（主模）的传播特性参数,主模：截止频率最低的模式,高次模：除主模以外的其余模式,在矩形波导中（a b）：主模为TE10 模,1.矩形波导的主